มัชฌิมเรขาคณิต

รากที่ n ของผลคูณของ n จำนวน

ในวิชาคณิตศาสตร์ มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่ามัชฌิมหรือค่าเฉลี่ยที่บ่งบอกถึงแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจากมัชฌิมเลขคณิตซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือรากที่ n ของผลคูณของจำนวน n จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน a1, a2, ..., an มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น

มัชฌิมเรขาคณิตตัวอย่าง: (สีแดง) เป็นมัชฌิมเรขาคณิตของ กับ [1][2] โดยในตัวอย่างนี้ ส่วนของเส้นตรง ถูกกำหนดให้ตั้งฉากกับ (ภาพเคลื่อนไหวจะค้างไว้ 10 วินาทีก่อนเริ่มเล่นใหม่อีกครั้ง )

หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนในมาตราส่วนลอการิทึม

ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็นรากที่สอง (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็นรากที่สามของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้น[a]

มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็นเลขยกกำลัง เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ อาทิจำนวนประชากรโลกหรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์ โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)

สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของเรขาคณิตได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน กับ เป็นความยาวของด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว และ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ , , กับ เป็นความยาวของสันหนึ่งของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่ามัชฌิมพีทาโกรัสเช่นเดียวกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (Inequality of arithmetic and geometric means))

การคำนวณ

แก้

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล   มีนิยามเป็น:

 [3]

สมการนี้ใช้สัญกรณ์ π ตัวใหญ่เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้ผลคูณรวมของเซต จากนั้นจึงหารากที่ n ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน   ผลคูณของ   เท่ากับ   แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง   ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ n กล่าวคือ  .

การคำนวณด้วยการทำซ้ำ

แก้

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะน้อยกว่ามัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่ามัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ

มัชฌิมเรขาคณิตคือ มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก ด้วย ในแง่ที่หากมีลำดับอยู่สองลำดับ (  และ  ) ที่มีนิยามว่า:

 

และ

 

โดยที่   คือมัชฌิมเลขคณิตและ   คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว   และ   จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ   และ   ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:

 

และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วยมัชฌิมทั่วไป (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง   เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1

ความสัมพันธ์กับลอการิทึม

แก้

มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูปเลขชี้กำลังของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมได้[4] การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมเพื่อแปลงสภาพของสูตร:

โดยที่  

 
เพราะ
 

หรือสามารถใช้ฐานเป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง

นอกจากนั้น หากให้   เป็นจำนวนลบได้

 

โดยที่ m คือจำนวนของจำนวนลบ

นี่บางครั้งถูกเรียกว่า log-average (อย่าสับสนกับมัชฌิมลอการิทึม (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตของค่า   ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็นมัชฌิมกึ่งเลขคณิต (Quasi-arithmetic mean) ที่   ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย   เป็นฐานค่าใดก็ตามของลอการิทึม (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 ค่า   หรือ 10):

 

สำหรับชุดข้อมูล   เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

 ,

โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตในภาษาคอมพิวเตอร์ เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิดสภาวะน้อยเกินเก็บ (arithmetic underflow) หรือสภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน

เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต

แก้
 
การพิสูจน์โดยไม่ใช้คำพูดเชิงเรขาคณิตว่า max (a,b) > รูตมีนสแควร์ (RMS) หรือค่าเฉลี่ยกำลังสอง (QM) > มัชฌิมเลขคณิต (AM) > มัชฌิมเรขาคณิต (GM) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) > min (a,b) ของจำนวนบวกที่ต่างกันสองจำนวน a และ b[5]
 
การพิสูจน์อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตโดยไม่ใช้คำพูด (Proof without words):

  คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง  ; รัศมี   คือมัชฌิมเลขคณิตของ   กับ  ; ส่วนสูง   ของรูปสามเหลี่ยม   คือมัชฌิมเรขาคณิตจากทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต (geometric mean theorem)

  สำหรับอัตราส่วน   ใด ๆ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง[6]

อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย

แก้

ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ   โดยที่   คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง   และ   คือ   มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:

 

การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

แก้

สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ   และ   ที่ความยาวเท่ากัน

 

จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่งถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง[7] กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

ตาราง 1

  คอมพิวเตอร์ A คอมพิวเตอร์ B คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1 1 10 20
โปรแกรม 2 1000 100 20
มัชฌิมเลขคณิต 500.5 55 20
มัชฌิมเรขาคณิต 31.622 . . . 31.622 . . . 20
มัชฌิมฮาร์มอนิก 1.998 . . . 18.182 . . . 20

ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว แล้วใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 2

  คอมพิวเตอร์ A คอมพิวเตอร์ B คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1 1 10 20
โปรแกรม 2 1 0.1 0.02
มัชฌิมเลขคณิต 1 5.05 10.01
มัชฌิมเรขาคณิต 1 1 0.632 . . .
มัชฌิมฮาร์มอนิก 1 0.198 . . . 0.039 . . .

ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 3

  คอมพิวเตอร์ A คอมพิวเตอร์ B คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1 0.1 1 2
โปรแกรม 2 10 1 0.2
มัชฌิมเลขคณิต 5.05 1 1.1
มัชฌิมเรขาคณิต 1 1 0.632
มัชฌิมฮาร์มอนิก 0.198 . . . 1 0.363 . . .

และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:

ตาราง 4

  คอมพิวเตอร์ A คอมพิวเตอร์ B คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1 0.05 0.5 1
โปรแกรม 2 50 5 1
มัชฌิมเลขคณิต 25.025 2.75 1
มัชฌิมเรขาคณิต 1.581 . . . 1.581 . . . 1
มัชฌิมฮาร์มอนิก 0.099 . . . 0.909 . . . 1

ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม[8] การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง   มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

แก้

หาก   เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ

 

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์   ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ  

การประยุกต์ใช้

แก้

การเติบโตตามสัดส่วน

แก้

มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่ามัชฌิมเลขคณิต ไม่ว่าจะเป็นการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่าอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน

สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วยมัชฌิมเลขคณิตได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี

แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ  ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก

การเงิน

แก้

มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีตดัชนีเอฟที 30 (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต[9] ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ ของสหราชอาณาจักรและสหภาพยุโรปก็ใช้เช่นกัน[10]

นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต[9]

สังคมศาสตร์

แก้

แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:

มัชฌิมเรขาคณิตลดระดับการทดแทนกันได้ของแต่ละมิติ และรับรองว่าการลดลงร้อยละ 1 ของการคาดหมายคงชีพเมื่อกำเนิดเป็นต้นจะส่งผลต่อดัชนี HDI เท่ากับการลดลงร้อยละ 1 ในการศึกษาหรือรายได้ ดังนั้น การใช้วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ต่าง ๆ จะเคารพความแตกต่างในตัวเองของแต่ละมิติมากกว่าวิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบง่าย[11]

รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของดัชนีแอตคินสัน (Atkinson Index) ที่มีตัวแปรความรังเกียจความไม่เท่าเทียม (inequality aversion)   คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับค่านอร์ม   (  space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย  

เรขาคณิต

แก้
 
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากวัดจากมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือมัชฌิมเรขาคณิตของความยาวของทั้งสองส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วน ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมทั้งสามรูปของด้าน (p + q, r, s ), (r, p, h ) และ (s, h, q ) ได้
 

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่าทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต

ในกรณีของวงรี กึ่งแกนโทคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจากโฟกัสไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม และกึ่งแกนเอกคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นบังคับ (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม

หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ   เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ   และ   ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า

 

รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น

ระยะทางไปยังขอบฟ้าของทรงกลมมีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย

มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม (squaring the circle) ของศรีนิวาสะ รามานุชัน[12] และการสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้วย "mean proportional"[13]

อัตราส่วนลักษณะ

แก้
 
การเปรียบเทียบพื้นที่เท่าระหว่างอัตราส่วนลักษณะต่าง ๆ ที่เคินส์ พาวเวอส์ ใช้เพื่อหามาตรฐานเอสเอ็มพีทีอี 16:9[14] สีแดงคือ   TV 4:3/1.33 สีส้มคือ   1.66 สีน้ำเงินคือ   16:9/1.77 สีเหลืองคือ   1.85 สีม่วงคือ   Panavision/2.2 และสีชมพูคือ   CinemaScope/2.35

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือกอัตราส่วนลักษณะประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มีส่วนร่วมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน

ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ CinemaScope 2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ   เอสเอ็มพีทีอี (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ   เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการเชิงประจักษ์ เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน[14]

เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับอัตราส่วนลักษณะ 14:9 ( ...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง[15]

ขนาดกระดาษ

แก้

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด   มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด   กับ   ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ   เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 ( ) กับของกระดาษ A1 ( )

 

ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น กระดาษ C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4

ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี

อื่น ๆ

แก้

ดูเพิ่ม

แก้

หมายเหตุ

แก้
  1. มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารากของผลคูณที่มีค่าเป็นลบ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจินตภาพ

อ้างอิง

แก้
  1. Friehauf, Matt; Hertel, Mikaela; Liu, Juan; Luong, Stacey (2013). "On Compass and Straightedge Constructions: Means" (PDF). Department of Mathematics, University of Washington. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 17 สิงหาคม 2022. สืบค้นเมื่อ 14 มิถุนายน 2018.
  2. Joyce, David E. (2013). "Book VI, Proposition 13, To find a mean proportional to two given straight lines.". Euclid's Elements. Department of Mathematics and Computer Science, Clark University. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023. สืบค้นเมื่อ 19 กรกฎาคม 2019.
  3. "2.5: Geometric Mean". Introductory Business Statistics (OpenStax). Statistics LibreTexts (ภาษาอังกฤษ). 20 เมษายน 2019. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023. สืบค้นเมื่อ 16 สิงหาคม 2021.
  4. Crawley, Michael J. (2005). Statistics: An Introduction using R. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
  5. ถ้า   และ   แล้ว   ของ a กับ b และรัศมี  
    ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้  
    ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้  
    ใช้รูปสามเหลี่ยมคล้ายได้  
  6. Mitchell, Douglas W. (2004). "More on spreads and non-arithmetic means". The Mathematical Gazette. 88: 142–144. doi:10.1017/S0025557200174534. S2CID 168239991.
  7. Fleming, Philip J.; Wallace, John J. (1986). "How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results". Communications of the ACM. 29 (3): 218–221. doi:10.1145/5666.5673. S2CID 1047380.
  8. Smith, James E. (1988). "Characterizing computer performance with a single number". Communications of the ACM. 31 (10): 1202–1206. doi:10.1145/63039.63043. S2CID 10805363.
  9. 9.0 9.1 Rowley, Eric E. (1987). The Financial System Today. Manchester University Press. ISBN 0719014875.
  10. Bird, Derek (12 มีนาคม 2013). Introducing the new RPIJ measure of Consumer Price Inflation (Report). Office for National Statistics. p. 4.
  11. "Frequently Asked Questions - Human Development Reports". hdr.undp.org. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2 มีนาคม 2011. The geometric mean reduces the level of substitutability between dimensions and at the same time ensures that a 1 percent decline in say life expectancy at birth has the same impact on the HDI as a 1 percent decline in education or income. Thus, as a basis for comparisons of achievements, this method is also more respectful of the intrinsic differences across the dimensions than a simple average.
  12. Ramanujan, S. (1914). "Modular equations and approximations to π" (PDF). Quarterly Journal of Mathematics. 45: 350–372. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 9 พฤศจิกายน 2022.
  13. Stowell, T.P. (1876) [1818]. "Extract from Leybourn's Math. Repository". The Analyst. Vol. 3–4. Mills & Company – โดยทาง Google Books.
  14. 14.0 14.1 "The Father Of 16:9". TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios (PDF). The CinemaSource Press. 2001. p. 8. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 9 กันยายน 2009. สืบค้นเมื่อ 24 ตุลาคม 2009.
  15. US 5956091, DREWERY; JOHN OLIVER; DEVEREUX; VICTOR GERALD, "Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays", issued 21 กันยายน 1999 
  16. MacEvoy, Bruce. "Colormaking Attributes: Measuring Light & Color". handprint.com. Colorimetry. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 14 กรกฎาคม 2019. สืบค้นเมื่อ 2 มกราคม 2020.

แหล่งข้อมูลอื่น

แก้