มัชฌิมพีทาโกรัส
ในคณิตศาสตร์ สามชนิดดั้งเดิมของมัชฌิมพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean means) คือ มัชฌิมเลขคณิต (AM) มัชฌิมเรขาคณิต (GM) และมัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) มัชฌิมเหล่านี้ถูกศึกษาโดยชาวพีทาโกรัส และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นหลัง[1] เพราะความสำคัญในเรขาคณิต และดนตรี
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/MathematicalMeans.svg/220px-MathematicalMeans.svg.png)
นิยาม
แก้
สมบัติ
แก้มัชฌิม แต่ละตัวมีสมบัติดังนี้
การแจกแจง
แก้
การสลับที่
แก้
สำรับทุก และ
ความโมโนโทนิค
แก้
ความโมโนโทนิค และนิจพลบอกว่ามัชฌิมของเซตจะอยู่ระหว่างค่าน้อยสุด และค่ามากสุด
มัชฌิมฮาร์มอนิก และมัชฌิมเลขคณิตเป็นส่วนกลับของกันและกัน
มัชฌิมเรขาคณิตเป็นส่วนกลับของตัวเอง
ความไม่สมมูลระหว่างมัชฌิม
แก้หากค่า ทั้งหมดเป็นบวก การเรียงลำดับของมัชฌิมเหล่านี้คือ
ที่มีความสมมูลกันก็ต่อเมื่อ เท่ากันทั้งหมด
นี่คือลักษณะทั่วไปของความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต และกรณีพิเศษของความไม่สมมูลกันสำหรับมัชฌิมทั่วไป หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่สมมูลกันของมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต และความเป็นคู่ส่วนกลับ ( และ ก็เป็นส่วนกลับซึ่งกันและกันด้วย)
การศึกษาวิธีพีทาโกรัสมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการศึกษาฟังก์ชัน majorization และ Schur-convex มัชฌิมฮาร์มอนิกและเรขาคณิตเป็นฟังก์ชันสมมาตรเว้าของอาร์กิวเมนต์ด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชัน Schur-concave ขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงเป็นทั้งฟังก์ชันสมมาตรเว้าและนูน
ดูเพิ่ม
แก้เชิงอรรถ
แก้- ↑ ถ้า AC = a และ BC = b OC = AM ของ a และ b, และรัศมี r = QO = OG
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM
ใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM
ใช้สามเหลี่ยมคล้าย, HCGC = GCOC ∴ HC = GC²OC = HM
อ้างอิง
แก้- ↑ Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics. Vol. Ⅰ. New York: Dover Publications. pp. 84–90. ISBN 0-486-24073-8. LCCN 80-70126.
แหล่งข้อมูลอื่น
แก้- Cantrell, David W. "Pythagorean Means". MathWorld.