เปิดเมนูหลัก
กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = ex ที่จุด x = 0

เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828[1] นิยามได้หลายวิธี เช่น เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน มีค่าเท่ากับความชันของตัวมันเองสำหรับทุกจำนวนจริง หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวจะอยู่ในรูป เสมอ เมื่อ เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ ยังมีค่าเท่ากับ ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น นอกจากนี้ สามารถคำนวณได้โดยสูตร

มักเรียกว่าจำนวนของออยเลอร์ (ระวังสับสนกับค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ซึ่งเป็นผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของมันอย่างละเอียด และมีอีกชื่อคือค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตที่ค้นพบลอการิทึม ค่า ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น

เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย เป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า ซึ่งค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ มีความสัมพันธ์อย่างลึกซึ้งเรียกว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์[2] ค่าประมาณเป็นทศนิยม 50 หลักของ เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

สมบัติทางคณิตศาสตร์แก้ไข

การคิดดอกเบี้ยทบต้นแก้ไข

โยฮันน์ แบร์นูลลีค้นพบค่า  ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

สมมุติบัญชีธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้าทบต้นทุกปี เมื่อจบปีบัญชีนี้จะมีเงิน 2 บาท แต่หากทบต้นถี่มากกว่านี้จะเป็นอย่างไร?

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น  ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ  และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน  บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้นั่นก็คือ ค่า  นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน  บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา  ต่อปี จะมีเงินจำนวน  เมื่อเวลาผ่านไป  ปี

แคลคูลัสแก้ไข

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า   คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน   จากนิยามของอนุพันธ์

 

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ   แต่ขึ้นกับฐาน   เพียงอย่างเดียว โดยที่   คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

 

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน  จะได้

 

โดย  

ดังนั้นถ้าแทน  เป็น  จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

 

ลอการิทึมฐาน   นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย  ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า  เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่  มี  เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม  อีกวิธีคือ

 

ทฤษฎีจำนวนแก้ไข

 เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า  ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า  เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า  เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้[3] สำหรับการที่  เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า  เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

จำนวนเชิงซ้อนแก้ไข

ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

 

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ  ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน  สำหรับจำนวนเชิงซ่้อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ  และ  นำไปสู่สูตรของออยเลอร์  (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์  เป็นกรณีพิเศษที่  ) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์  

ความน่าจะเป็นแก้ไข

ในวิชาความน่าจะเป็น พบ  ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้[4]: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง  คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง  ใบ โดยกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

 

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก  เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา  

การประมาณของสเตอร์ลิงแก้ไข

 ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

 

ซึ่งแปลว่า

 

สถิติแก้ไข

การแจกแจงปรกติมีสูตรว่า

 

เมื่อ  เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ  เป็นค่าเฉลี่ย

ดูเพิ่มแก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) (2013). "natural logarithms [Napierian logarithms] ลอการิทึมฐาน e". พจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์ สสวท. อังกฤษ-ไทย. บริษัท อินเตอร์เอดูเคชั่น ซัพพลายส์ จำกัด. p. 79. ISBN 978-616-7736-02-0.
  2. Pickover, Clifford A. (2009). "Euler's Number, e". The Math Book. p. 166. ISBN 978-1-4027-8829-1.
  3. Sandifer, Ed (กุมภาพันธ์ 2006). "How Euler Did It: Who proved e is irrational?" (PDF).
  4. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. 85.

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข

มหัศจรรย์แห่งค่าอี