เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}$

เมื่อ $a_{0}$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข $a_{i}$ ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

สัญลักษณ์

เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$

ด้วยสัญลักษณ์

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;$

หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

$x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}$

หรือ

$x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+}{1 \over a_{3}+}$

(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

$x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \;$

โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction) เป็นลิมิต

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$

โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง $r$ ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ $r$ แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก $r$ การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ $r$

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245
$3\,$	$3.245-3\,$	$=0.245\,$	$1/0.245\,$	$=4.082\,$
$4\,$	$4.082-4\,$	$=0.082\,$	$1/0.082\,$	$=12.250\,$
$12\,$	$12.250-12\,$	$=0.250\,$	$1/0.250\,$	$=4.000\,$
$4\,$	$4.000-4\,$	$=0.000\,$	หยุด
เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4]
$3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;$

ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

$[2;3,1]=[2;4]=9/4=2.25.\;$

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

${\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0})+(a_{0}a_{1}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.$

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ $a_{3}$) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ $h_{0},h_{1},h2,\ldots$ และส่วนคือ $k_{0},k_{1},k_{2},\ldots$ เราจะได้ว่า $h_{0}=a_{0}$, $k_{0}=1$, $h_{1}=a_{0}a_{1}+1$, และ $k_{1}=a_{1}$ เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.$

ดังนั้น

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.$

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1

สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ ใดๆ

$\left[a_{0},a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

ทฤษฎีบท 2

คอนเวอร์เจนท์ของ [a₀, a₁, a₂, ...] อยู่ในรูป

$\left[a_{0},a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.$

ทฤษฎีบท 3

ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ $n$ ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ $h_{n}/k_{n}$ แล้ว

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.$

บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ $h_{n}$ และ $k_{n}$ จะต้องหาร $k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}$ ลงตัว)

บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1

$\left|{\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}\right|=\left|{\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}\right|={\frac {1}{k_{n}k_{n-1}}}.$

บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้

$a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}}.$

บทเสริม 4: แมทริกซ์

${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}$

มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ $S^{*}L(2,\mathbb {Z} )$

ทฤษฎีบท 4

คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ $x$ เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ และให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ $r>s$

$\left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{r}]-x\right|>\left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{s}]-x\right|$

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน $x$

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า $x$

ทฤษฎีบท 5

${\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|x-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.$

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น

• โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องบนต้นไม้ สเติร์น-โบรคอท (อังกฤษ)
• cfc - โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง เก็บถาวร 2006-01-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน สำหรับ POSIX และ Cygwin (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องพื้นฐาน (อังกฤษ)

อ้างอิง

• A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
• Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.