เอกลักษณ์ของออยเลอร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของออยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:

สมการประกอบด้วย:

คือ เลขของออยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ
คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ )
คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตาม เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิสเซอร์แลนด์ ได้ซื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว (, , , 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

ความงามทางคณิตศาสตร์แก้ไข

เอกลักษณ์ของออยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์[1]ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน:

  • หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
  • หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
  • ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
  • จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของออยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
  • ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์

Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของออยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชคสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของออยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"[2]

Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ อธิบายถึงอัตลักษณ์ของออยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"

Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของออยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด"[3] และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"[4]

แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของออยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์"[5] ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์[6] (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"[7]

การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของออยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ[8]

หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของออยเลอร์:

  • Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)[9]
  • A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)[10]
  • Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).[11]

คำอธิบายแก้ไข

เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพแก้ไข

โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า  มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์  คือ รูปพิเศษหนึ่งของ   โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว   ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

 

 
ในแอนิเมชันนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ (1 + /N)Nมีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + /N)N จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้,  จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

 

สำหรับจำนวนจริง   ถ้าเราให้   จะได้

 

จากนิยามของ

 

และ

 

เราจะได้

  หรือ  

อ้างอิงแก้ไข

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty
  2. Nahin, 2006, p. 1.
  3. Reid, chapter e.
  4. Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
  5. Wells, 1990.
  6. Maxwell's equations
  7. Crease, 2004.
  8. Zeki et al., 2014.
  9. Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (in English). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
  10. Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (in English) (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.
  11. Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (in English). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.