เอกลักษณ์ของออยเลอร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของออยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:

$e^{i\pi }+1=0$

สมการประกอบด้วย:

$e\,\!$ คือ เลขของออยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

$i\,\!$ คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ $-i\,\!$)

$\pi \,\!$ คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตาม เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิสเซอร์แลนด์ ได้ซื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว ($e\,\!$, $i\,\!$, $\pi \,\!$, 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

ความงามทางคณิตศาสตร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน:

• หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
• หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
• ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
• จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของออยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์

Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของออยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชคสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของออยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"

Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ อธิบายถึงอัตลักษณ์ของออยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"

Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของออยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"

แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของออยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์" ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"

การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของออยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ

หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของออยเลอร์:

• Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)
• A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)
• Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).

คำอธิบาย

เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ

โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า $e^{i\pi }$มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ $e^{i\pi }$คือ รูปพิเศษหนึ่งของ $e^{z}$ โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว $e^{z}$ ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

ในแอนิเมชันนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ (1 + iπ/N)^Nมีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N)^N จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, $(1+i\pi /n)^{n}$จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

สำหรับจำนวนจริง $x$ ถ้าเราให้ $x=\pi$ จะได้

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!$

จากนิยามของ

$\cos \pi =-1\,\!$

และ

$\sin \pi =0\,\!$

เราจะได้

$e^{i\pi }=-1\,\!$ หรือ $e^{i\pi }+1=0$