เอกลักษณ์การบวก
ในทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์การบวก ของเซตที่มีการดำเนินการของการบวก คือสมาชิกในเซตที่บวกกับสมาชิก x ใด ๆ แล้วได้ x เอกลักษณ์การบวกตัวหนึ่งที่เป็นที่คุ้นเคยมากที่สุดคือจำนวน 0 จากคณิตศาสตร์มูลฐาน แต่เอกลักษณ์การบวกก็สามารถมีในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่นิยามการบวกเอาไว้ เช่น ในกรุปหรือริง
นิยามทั่วไป
แก้ให้ N เป็นเซตที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการของการบวก ซึ่งเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย +
เอกลักษณ์การบวกของ N คือ สมาชิก e ที่ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง สำหรับทุกสมาชิก n ในเซต N
- e + n = n = n + e
ตัวอย่าง
แก้- เอกลักษณ์การบวกในคณิตศาสตร์มูลฐานคือศูนย์ เขียนแทนด้วย 0 จะได้ว่า
- 0 + 5 = 5 = 5 + 0
- ในจำนวนธรรมชาติรวมไปถึงซูเปอร์เซต (เช่นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน) มีเอกลักษณ์การบวกคือ 0 ดังนั้นสำหรับจำนวน n ใด ๆ
- 0 + n = n = n + 0
- ในกรุปหนึ่ง ๆ เอกลักษณ์การบวกคือสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปนั้น ซึ่งมักจะแทนด้วย 0 และมีเพียงค่าเดียว (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
- ในริงหรือฟีลด์หนึ่ง ๆ เป็นกรุปที่อยู่ภายใต้การดำเนินการของการบวก ดังนั้นริงหรือฟีลด์นั้นจึงมีเอกลักษณ์การบวกเป็น 0 เช่นกัน ซึ่งสิ่งนี้ถูกนิยามไว้ให้แตกต่างจากเอกลักษณ์การคูณ 1 เมื่อริง (หรือฟีลด์) นั้นมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว แต่ถ้าเอกลักษณ์การบวกกับเอกลักษณ์การคูณคือตัวเดียวกัน ริงนั้นจะเรียกว่ามีภาวะชัด (trivial) (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
- ในกรุปของเมทริกซ์มิติ m×n เหนือกรุป G หรือเขียนแทนด้วย Mm×n(G) เอกลักษณ์การบวกจะเขียนแทนด้วย 0 และเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์ใน G ทั้งหมด (นั่นคือ 0) ดังตัวอย่าง ในเมทริกซ์มิติ 2×2 เหนือเซตของจำนวนเต็ม M2×2(Z) เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์นี้คือ
การพิสูจน์
แก้เอกลักษณ์การบวกมีเพียงหนึ่งเดียวในกรุป
แก้กำหนดให้ (G, +) เป็นกรุปหนึ่ง และให้ 0 กับ 0' ในเซต G เป็นตัวแทนของเอกลักษณ์การบวก ดังนั้นสำหรับสมาชิก g ใด ๆ ในเซต G
- 0 + g = g = g + 0 และ
- 0' + g = g = g + 0'
ซึ่งสามารถทำให้
- 0 + (0') = (0') = (0') + 0
จะได้ว่า 0 = 0' นั่นคือ 0 กับ 0' คือค่าเดียวกัน
เอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ แตกต่างกันในริงที่ไม่อยู่ในภาวะชัด
แก้กำหนดให้ R คือริงหนึ่ง และสมมติให้เอกลักษณ์การบวก 0 กับเอกลักษณ์การคูณ 1 มีค่าเท่ากัน นั่นคือ 0 = 1 ดังนั้นสำหรับสมาชิก r ใด ๆ ในริง R
- r = r × 1 = r × 0 = 0
พิสูจน์ได้ว่า R มีภาวะชัด (trivial) นั่นคือ R = {0} (มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ 0) ในทางกลับกันจะได้ว่า เมื่อ R ไม่อยู่ในภาวะชัด ดังนั้น 0 จะไม่เท่ากับ 1 หมายความว่าเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณไม่เท่ากันนั่นเอง
อ้างอิง
แก้- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9
ดูเพิ่ม
แก้- ตัวผกผันการบวก (อินเวิร์สการบวก)
- สมาชิกเอกลักษณ์
- เอกลักษณ์การคูณ
แหล่งข้อมูลอื่น
แก้- uniqueness of additive identity in a ring ที่ PlanetMath.
- Margherita Barile, "Additive Identity" จากแมทเวิลด์.