ในคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ หรือ อินทิกรัล (อังกฤษ: integral) เป็นการกำหนดค่าให้กับฟังก์ชัน ซึ่งอาจมองได้เป็นการรวมปริมาณย่อยขนาดเล็กมาก ๆ ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกันในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับ การกระจัด พื้นที่ ปริมาตร และแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง เรียกกระบวนการหาปริพันธ์ว่า การหาปริพันธ์ หรือ อินทิเกรชัน (อังกฤษ: integration) การหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามของกันและกันต่างเป็นการดำเนินการพื้นฐานของแคลคูลัส[1]

ปริพันธ์ที่หาค่าออกมาแล้วเรียกว่า ปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral) ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนระนาบ พร้อมกับกำหนดเครื่องหมายบวก/ลบ ให้กับพื้นที่ หากพื้นที่นั้นอยู่เหนือแกน X หรืออยู่ใต้แกน X ตามลำดับ บางครั้งคำว่าปริพันธ์อาจสื่อุถึงปฏิยานุพันธ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันที่กำหนด บางครั้งเรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสอธิบายความเกี่ยวข้องระหว่างแนวคิดทั้งสอง และความเกี่ยวข้องระหว่างปริพันธ์กับอนุพันธ์

แม้ว่าการหาพื้นที่และปริมาตรด้วยการรวมส่วนเล็ก ๆ เข้าด้วยกันจะปรากฏในคณิตศาสตร์สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดปริพันธ์อย่างในปัจจุบันนั้นกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดย ไอแซค นิวตัน และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ ต่างค้นพบด้วยตัวของตัวเองทั้งคู่ โดยมองว่าปริพันธ์คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยการรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งที่มีความยาวน้อยมาก ๆ เข้าด้วยกัน แบร์นฮาร์ด รีมันน์เป็นคนแรกที่นิยามแนวคิดดังกล่าวอย่างรัดกุม จึงได้ชื่อว่าเป็นปริพันธ์แบบรีมันน์ ในภายหลังมีการขยายแนวคิดปริพันธ์แบบรีมันน์ออกไปให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันได้เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ ปริพันธ์แบบเลอเบก[2]

ประวัติแก้ไข

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้องแก้ไข

โดยทั่วไปแล้ว ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง f(x) เทียบกับตัวแปรค่าจริง x บนช่วงปิด [a, b] จะเขียนแทนด้วย

 

การหาปริพันธ์ข้างต้นแทนการหาปริพันธ์จำกัดเขต โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์ จุด a และ b หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, สัญลักษณ์ f(x) คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์หรือ ปริพัทธ์ (integrand) และสัญลักษณ์ dx ซึ่งเรียกว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของ x หรือ ดิฟเฟอเรนเชียลของ x บ่งว่าตัวแปรของการหาปริพันธ์คือ x

หากไม่ระบุช่วงที่หาอินทิกรัล หรือเขียนเป็น

 

ปริพันธ์ข้างต้นเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ซึ่งแทนคลาสของฟังก์ชันทั้งหมดที่หาอนุพันธ์ได้ตัวปริพัทธ์ f(x) เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติดังกล่าวว่า ปฏิยานุพันธ์ของ f(x)[3] ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคุลัสจะเชื่อมโยงปริพันธ์ไม่จำเขตและปริพันธ์จำกัดเขตเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังมีการดัดแปลงสัญลักษณ์การหาปริพันธ์ข้างต้นไปสำหรับโดเมนอื่น ๆ หรือปริพันธ์ในมิติที่สูงกว่า

ไลบ์นิซเป็นคนแรกที่ใช้เครื่องหมายปริพันธ์เป็น ∫ ซึ่งดัดแปลงมาจากตัว s ยาว (ſ) แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ที่มาของ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "summa" หรือเขียนว่า ſumma ซึ่งแปลว่าผลบวก สัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบันโดยมีการเขียน a และ b ใต้และบนเครื่องหมายของปริพันธ์มาจากฟูเรียร์[4]

นิยามของปริพันธ์แก้ไข

ปริพันธ์แบบรีมันน์แก้ไข

ปริพันธ์แบบเลอเบกแก้ไข

วิธีการหาปริพันธ์แก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. Anton, Howard (2015). Calculus : early transcendentals. Irl Bivens, Stephen Davis (11th edition, Wiley binder version ed.). Hoboken, NJ. ISBN 1-118-88382-9. OCLC 923547502.
  2. "The most important generalization of the concept of an integral. " ใน "Lebesgue integral - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
  3. Anton, Bivens & Davis 2016, p. 259.
  4. Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231.