ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน

ภาพโดยทั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

${\frac {dx}{dt}}=v(t)$

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

$dx=v(t)\,dt$

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า $\Delta x$ คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [a, b] ว่า

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

แล้ว

$F'(x)=f(x)\,$

สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

$f(x)=F'(x)\,$สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

ผลที่ตามมา

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b]. ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

$f(x)=F'(x)\,$ สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)$

และ

$f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

บทพิสูจน์

ส่วนที่ 1

กำหนดให้

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$

ให้ x₁ และ x₁ + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt$

และ

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt$

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt\qquad (1)$

เราสามารถแสดงได้ว่า

$\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt$

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt$

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt\qquad (2)$

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ที่ทำให้

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x$

แทนค่าลงใน (2) ได้

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,$

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c)$

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x₁

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)$

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x₁

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)\qquad (3)$

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ดังนั้น x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx

จาก $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ และ $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}$

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}$

แทนค่าลงใน (3) จะได้

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)$

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

$F'(x_{1})=f(x_{1})\,$

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

$F(b)-F(a)\,$

ให้ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b$ จะได้

$F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,$

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

${\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,\end{matrix}}$

เขียนใหม่เป็น

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\qquad (1)$

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

และจะได้

$f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\,$

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง x_i-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,$

แทนค่าลงใน (1) จะได้

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]$

จาก $F'(c_{i})=f(c_{i})\,$ และ $x_{i}-x_{i-1}$ สามารถเขียนในรูป $\Delta x$ ของผลแบ่งกั้น $i$

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\qquad (2)$

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า $\Delta x_{i}$ ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ $i$ หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม $n$ รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ $n$ มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

$\lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,dx$

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

$F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]$

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

จบการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

$\int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x$

ให้ $f(x)=x^{2}$ เราจะได้ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

$\int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39$

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ $\int _{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3$

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ $f$ ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง $[a,b]$ และ $x_{0}$ เป็นจำนวนในช่วง $[a,b]$ ซึ่ง $f$ ต่อเนื่องที่ $x_{0}$ จะได้

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ $x=x_{0}$ และ $F(x_{0})=f(x_{0})$ เราสามารถคลายเงื่อนไขของ $f$ เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน $F$ นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ $F'(x)=f(x)$ จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน $f$ ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ $F$ (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ $U$ เป็นเซตเปิดใน $\mathbb {C}$ และ $f:U\to \mathbb {C}$ เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ $F$ ใน $U$ ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง $\gamma :[a,b]\to U$ ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

$\oint _{\gamma }f(z)\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้

อ้างอิง

• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.