เปิดเมนูหลัก

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน

เนื้อหา

ภาพโดยทั่วไปแก้ไข

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

 

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

 

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า   คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

เนื้อหาของทฤษฎีบทแก้ไข

ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [a, b] ว่า

 

แล้ว

 

สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

 สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

 

ผลที่ตามมาแก้ไข

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b]. ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

  สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

 

และ

 

บทพิสูจน์แก้ไข

ส่วนที่ 1แก้ไข

กำหนดให้

 

ให้ x1 และ x1 + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

 

และ

 

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

 

เราสามารถแสดงได้ว่า

 
(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

 

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

 

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ที่ทำให้

 

แทนค่าลงใน (2) ได้

 

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

 
สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x1

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

 

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x1

 

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ดังนั้น x1cx1 + Δx

จาก   และ  

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

 

แทนค่าลงใน (3) จะได้

 

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

 

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2แก้ไข

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

 
ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

 

ให้   จะได้

 

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

 

เขียนใหม่เป็น

 

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

 

และจะได้

 

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง xi-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

 

แทนค่าลงใน (1) จะได้

 

จาก   และ   สามารถเขียนในรูป   ของผลแบ่งกั้น  

 

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า   ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ   หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม   รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ   มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

 

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

 

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

 

จบการพิสูจน์

ตัวอย่างแก้ไข

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

 

ให้   เราจะได้   เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

 

ถ้าเราต้องการหา

จะได้  

นัยทั่วไปแก้ไข

เราไม่จำเป็นต้องให้   ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า   เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง   และ   เป็นจำนวนในช่วง   ซึ่ง   ต่อเนื่องที่   จะได้

 

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ   และ   เราสามารถคลายเงื่อนไขของ   เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน   นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ   จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน   ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์   (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้   เป็นเซตเปิดใน   และ   เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ   ใน   ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง   ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

 

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้

อ้างอิงแก้ไข

  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.