ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยหรือทฤษฎีบทค่ามัชฌิม (อังกฤษ: mean value theorem) เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสและการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า สำหรับส่วนของเส้นโค้งใด ๆ ที่กำหนดให้ จะมีจุดหนึ่งจุดอยู่บนส่วนของเส้นโค้ง ที่เส้นสัมผัส ณ จุดนั้นจะขนานกับเส้นเชื่อมจุดปลายทั้งสองข้างของเส้นโค้ง

ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) จะมี c ที่อยู่ในช่วง (a, b) ซึ่งเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดปลายของช่วง [a, b] จะขนานกับเส้นสัมผัสจุด c

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเป็นรูปนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของโรลล์

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย — ให้ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b)$ แล้ว จะมี $c$ อยู่ในช่วงเปิด $(a,b)$ ที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $c$ ขนานกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด $(a,f(a))$ และ $(b,f(b))$ หรืออีกนัยหนึ่ง

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี

รูปแบบด้านล่างเป็นนัยทั่วไปหนึ่งของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี (Cauchy's mean value theorem) หรือ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยแบบขยาย (extended mean value theorem)

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี — ให้ $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a,b]$ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b)$ แล้ว จะมี $c$ อยู่ในช่วงเปิด $(a,b)$ ที่ทำให้

$$(g(b)-g(a))f'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)$$