การวิเคราะห์เชิงจริง

สาขาของคณิตวิเคราะห์

ในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เชิงจริง (อังกฤษ: Real analysis) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตวิเคราะห์ ที่ศึกษาสมบัติของจำนวนจริง ลำดับและอนุกรมที่มีพจน์เป็นจำนวนจริง[1] ตลอดจน ฟังก์ชันค่าจริง แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องได้แก่ การลู่เข้า ลิมิต ความต่อเนื่อง การหาอนุพันธ์ได้ และ การหาปริพันธ์ได้

ในภาพเป็นตัวอย่างลำดับที่ลู่เข้า ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงจริง

หัวข้อในการวิเคราะห์เชิงจริงแก้ไข

การลู่เข้าและลิมิตแก้ไข

ดูบทความหลักที่: ลิมิต

ลำดับคือฟังก์ชันจากเซตจำนวนนับไปยังเซตอื่น ในส่วนสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงเราสนใจลำดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ซึ่งอาจมองได้เป็นการเขียนจำนวนจริง   เรียงกันต่อไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด[2]

ตัวอย่างเช่น ลำดับของค่าประมาณของ   สามารถเขียนได้เป็น

 

โดยที่พจน์ที่   จะเท่ากับค่าของ   จนถึงทศนิยมตัวที่   ซึ่งจะเห็นได้ว่าสมาชิกแต่ละตัวในลำดับนี้มีค่าเข้าใกล้   มากขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งสามารถนิยามให้รัดกุมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราเรียกค่าที่ลำดับเข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ ว่า ลิมิต ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับข้างต้นคือ   นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณาลิมิตของลำดับประเภทอื่นได้ เช่น ลิมิตของอนุกรม และลิมิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงที่เกี่ยวข้องกับลิมิต เช่น ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ความต่อเนื่องแก้ไข

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงสามารถเขียนเป็นกราฟบนระบบพิกัดฉากได้ เราจะเรียกฟังก์ชัน   ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ในมุมมองง่าย ๆ) ถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นต่อเนื่องเส้นเดียว และไม่ "ขาด" หรือ "กระโดด" แยกจากกัน ความพยายามที่จะนิยามแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องข้างต้นให้รัดกุมในเชิงคณิตศาสตร์ส่งผลให้ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส สร้างบทนิยามลิมิตแบบ (ε, δ) ขึ้นมา[3]

นิยามของความต่อเนื่องในทางคณิตศาสตร์มีดังนี้ ให้   เป็นเซตใด ๆ และ   เป็นฟังก์ชันใด ๆ จะกล่าวว่า   ต่อเนื่องที่จุด   ถ้าสำหรับ   ใด ๆ จะมี   ที่ทำให้สำหรับทุก   ที่ซึ่ง   แล้วจะได้ว่า  

เมื่อ   เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะมีสมบัติมากมายตามมาจากทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง เช่น ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง และทฤษฎีบทค่าขีดสุด เป็นต้น

อนุพันธ์และปริพันธ์แก้ไข

ดูบทความหลักที่: อนุพันธ์ และ ปริพันธ์

อ้างอิงแก้ไข

  1. Laczkovich, Miklós. Real analysis : foundations and functions of one variable (First English ed.). New York. ISBN 978-1-4939-4222-0.
  2. Stewart, Ian. The foundations of mathematics (Second ed.). Oxford. ISBN 9780198706434.
  3. Grabiner, Judith V. (1983-03). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". The American Mathematical Monthly. 90 (3): 185. doi:10.2307/2975545. Check date values in: |date= (help)