ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous function) คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

ตัวอย่างเช่น ให้ฟังก์ชัน $h(t)$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา $t$ ไปยังความสูงของต้นไม้ที่เวลานั้น เราได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน $T(x)$ ที่ส่งความสูง $x$ ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มีความสูง $x$ เหนือจุดพิกัดทางภูมิศาสตร์จุดหนึ่ง ในทางกลับกัน ถ้า $M(t)$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา $t$ ไปยังจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีธนาคาร เราได้ว่า $M$ ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงแบบก้าวกระโดดเมื่อมีการฝากเงินหรือถอนเงินเข้าหรือออกจากบัญชี

ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีอันดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง

สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งช่วงช่วงหนึ่งของจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ดังเช่นฟังก์ชัน $h$, $T$, และ $M$ ข้างต้น ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนแทนด้วยกราฟของฟังก์ชันบนระนาบคาร์ทีเซียน เราอาจกล่าวโดยหยาบๆ ว่าฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นที่ไม่มีจุดแหว่งหรือการก้าวกระโดด กล่าวคือ เราสามารถเขียนกราฟได้โดยไม่ต้องยกปากกา

ถ้าจะกล่าวให้รัดกุมตามหลักคณิตศาสตร์แล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องที่จุด $c$ ถ้าเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง

• ฟังก์ชัน $f$ มีนิยามที่จุด $c$
• ให้ $c$ เป็นจุดลิมิตของโดเมนของ $f$ แล้ว ลิมิตของ $f(x)$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ มีค่าเท่ากับ $f(c)$

เรากล่าวว่าฟังก์ชัน $f$ ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ หรือเรียกย่อๆ ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า $f$ ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน

ตัวอย่าง

• ทุก ๆ ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
• ทุก ๆ ฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิธึม ฟังก์ชันรากที่ n ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (บนโดเมนที่หาค่าฟังก์ชันได้)
• ทุก ๆ ฟังก์ชันขั้นบันได เช่น ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น 1 เมื่อ x > 0 นอกนั้นฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ 1, เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันดิริชเลต์ (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันข้าวโพดคั่ว) เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชันต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถขยายให้กว้างขึ้น เพื่อให้ครอบคลุมฟังก์ชันระหว่างปริภูมิทอพอโลยี ได้ดังนี้:

จะเรียกฟังก์ชัน $f\colon X\to Y$ ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเซตเปิด $V\subseteq Y$ แล้วบุพภาพ

$f^{-1}(V)=\left\{x\in X\colon f(x)\in V\right\}$

จะเป็นเซตเปิดด้วย

อนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าในปริภูมิยุคลิด นิยามข้างต้นและนิยามเอปไซลอน-เดลตาเหมือนกันทุกประการ. จากนิยามนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ทราบแก่นที่แท้จริงของความต่อเนื่องคือ การนิยามเซตเปิดในระบบนั่นเอง ไม่ใช่ฟังก์ชันระยะทางดังที่เคยเข้าใจมา