ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส
ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rn โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า[1] อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต[2] ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ[3]
ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส
ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ
แก้ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์
ข้อความ
แก้ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ — ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า
พิสูจน์
แก้ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้
บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์ ใน มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว
เราจะเรียกดัชนีค่าบวก ของลำดับว่าเป็น จุดพีค ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ สำหรับทุก สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า . ดังนั้น ลำดับอนันต์ ใน มีลำดับทางเดียวคือ นั้น
แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย ที่มีดัชนีตัวแรกคือ จะเงื่อนไขได้ว่า ไม่เป็นจุดพีค เพราะ มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี ที่ซึ่ง และ
เช่นกัน จาก มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี ที่ซึ่ง และทำให้ ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ ใน มีลำดับย่อยทางเดียว[4]
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า เป็นลำดับมีขอบเขต ใน โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า
สำหรับกรณีทั่วไป ( ) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า
บทพิสูจน์แบบอื่น
แก้ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง[5] เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต :
-
เพราะ มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง และขอบเขตบน .
-
เราใช้ เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
-
จากนั้นแบ่ง ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
-
เนื่องจากลำดับ เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง
-
จากนั้นเราก็แบ่ง อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
-
เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม
-
เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ ( )
เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ ) แล้วอินเตอร์เซคชัน จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า เป็นจุดเกาะกลุ่มของ
กำหนดย่านใกล้เคียง ของ ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง ที่เป็นสับเซตแท้ของ เนื่องจาก บรรจุสมาชิกของ เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ , ดังนั้น บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ ทำให้ได้ว่า เป็นจุดเกาะกลุ่มของ ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ ที่ลู่เข้า
ดูเพิ่ม
แก้อ้างอิง
แก้บรรณานุกรม
แก้- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley.
- Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
- Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-31469-6. OCLC 842256400.
- Pugh, C. C. (2015). Real mathematical analysis (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-17771-7. OCLC 915757451.