ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rn โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า[1] อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rn จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต[2] ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ[3]

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญแก้ไข

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

ข้อความแก้ไข

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ   — ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rn จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า

พิสูจน์แก้ไข

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ   (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน   ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้

บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์   ใน   มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว

พิสูจน์ —

เราจะเรียกดัชนีค่าบวก   ของลำดับว่าเป็น จุดพีค ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ   สำหรับทุก   สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี  และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า   . ดังนั้น ลำดับอนันต์   ใน   มีลำดับทางเดียวคือ   นั้น

แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้   เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย   ที่มีดัชนีตัวแรกคือ   จะเงื่อนไขได้ว่า   ไม่เป็นจุดพีค เพราะ   มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี   ที่ซึ่ง   และ  

เช่นกัน จาก   มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี   ที่ซึ่ง   และทำให้   ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด   ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ   ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์   ใน   มีลำดับย่อยทางเดียว[4]

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า   เป็นลำดับมีขอบเขต ใน   โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป ( ) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน   ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด   ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่นแก้ไข

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง[5] เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต   :

เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า   เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่  ) แล้วอินเตอร์เซคชัน   จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า   เป็นจุดเกาะกลุ่มของ  

กำหนดย่านใกล้เคียง   ของ   ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง  ที่เป็นสับเซตแท้ของ   เนื่องจาก   บรรจุสมาชิกของ   เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ  , ดังนั้น   บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ  ทำให้ได้ว่า   เป็นจุดเกาะกลุ่มของ   ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ   ที่ลู่เข้า  

ดูเพิ่มแก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. Bartle and Sherbert 2000, p. 78 (for R).
  2. Fitzpatrick 2006, p. 52 (for R), p. 300 (for Rn).
  3. Fitzpatrick 2006, p. xiv.
  4. Bartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.
  5. Garling 2013, pp. 94-95

บรรณานุกรมแก้ไข

  • Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley.
  • Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
  • Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-31469-6. OCLC 842256400.
  • Pugh, C. C. (2015). Real mathematical analysis (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-17771-7. OCLC 915757451.