อนุพันธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ (อังกฤษ: derivatives) ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง เป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัส (tangent) ที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ใกล้เคียงที่สุด (best linear approximation) กับค่าตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว^{[เชิงอรรถ 1]}

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์ (concept) หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

นิยาม

โดยใช้ลิมิต

ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงที่หาอนุพันธ์ได้ ที่จุด $a$ ในโดเมนของฟังก์ชัน ถ้าช่วงเปิดที่เป็นสับเซตที่มี $a$ เป็นสมาชิก และลิมิต

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

หาค่าได้ หมายความว่า ทุกจำนวนจริงบวก $\varepsilon$ จะมีจำนวนจริงบวก $\delta$ ที่ทำให้ ทุก $h$ $|h|<\delta$ และ $h\neq 0$ แล้ว $f(a+h)$ หาค่าได้ และ

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon$

เมื่อเส้นตั้งแสดงถึงค่าสัมบูรณ์ นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างของนิยาม (ε, δ) ของลิมิต^[1]

ถ้าฟังก์ชัน $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $a$ นั่นคือถ้าลิมิต $L$ หาค่าได้ แล้วลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของ $f$ ที่ $a$ การเขียนอนุพันธ์เขียนได้หลายแบบ^[2] อนุพันธ์ของ $f$ ที่ $a$ สามารถเขียนเป็น $f'(a)$ อ่านว่า เอฟไพรม์เอ หรือเขียนเป็น ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ อ่านว่า ดีเอฟบายดีเอ็กซ์ที่เอ ดู § สัญกรณ์ ข้างล่าง

ตัวอย่าง ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง $f(x)=x^{2}$ แล้วผลหารในนิยามของอนุพันธ์คือ^[3]

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h$

การหารในขั้นตอนสุดท้ายถูกต้องก็ต่อเมื่อ $h\neq 0$ ยิ่ง h เข้าใกล็ $0$ มากเท่าไร ค่าก็จะเข้าใกล้ $2a$ มากเท่านั้น ลิมิตหาค่าได้ และสำหรับทุก $a$ ลิมิตจะมีค่าเป็น $2a$ ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองคือ ${\textstyle f'(x)=2x}$

โดยใช้กณิกนันต์

อีกวิธีคิดหนึ่งของอนุพันธ์ ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ คือเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน $f$ ต่อการเปลี่ยนแปลงกณิกนันต์ของฟังก์ชัน $x$ ^[4] การทำให้แนวคิดนี้รัดกุม จะต้องมีระบบกฎเกณฑ์ในการจัดการกับกณิกนันต์^[5] ระบบจำนวนไฮเพอร์เรียลสามารถจัดการกับปริมาณอนันต์และกณิกนันต์ได้ ไฮเพอร์เรียลเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงที่มีจำนวนที่มากกว่าทุกสิ่งในรูป $1+1+\cdots +1$ สำหรับทุกพจน์จำกัด จำนวนดังกล่าวเป็นอนันต์ และส่วนกลับของมันเป็นกณิกนันต์ การประยุกต์ใช้ของจำนวนไฮเพอร์เรียลในรากฐานแคลคูลัสเรียกว่า การวิเคราะห์ที่ไม่มาตรฐาน เป็นการเปิดช่องให้นิยามแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นอนุพันธ์ และปริพันธ์ ในรูปของกณิกนันต์ ให้ความหมายที่รัดกุมกับ $d$ ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นอนุพันธ์ของ $f(x)$ จะกลายเป็น

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$

สำหรับทุกกณิกนันต์ $dx$ เมื่อ $\operatorname {st}$ หมายถึงฟังก์ชันส่วนมาตรฐาน ซึ่งปัดทุกไฮเพอร์เรียลจำกัดเป็นจำนวนจริงที่ใกล์ที่สุด เอาฟังก์ชันกำลังสอง $f(x)=x^{2}$ เป็นตัวอย่างอีกครั้ง

${\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}$

การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์

การหาอนุพันธ์ เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f (x)$ ของตัวแปร $x$ คืออัตราที่ค่า $y$ ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร $x$ เรียกว่า อนุพันธ์ของ $f$ เทียบกับ $x$ ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน $f$ ลงจุดเทียบกับ $x$ อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น:

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ $y$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ $x$ ซึ่งหมายถึงกราฟของ $y$ จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ $y = f (x) = m x + b$ สำหรับจำนวนจริง $m$ และ $b$ และความชัน $m$ ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$ ดังสมการ

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

เมื่อสัญลักษณ์ $Δ$ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า

y+\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\,\Delta x+b=y+m\,\Delta x

เพราะฉะนั้น จะได้

y+\Delta y=y+m\,\Delta x

ทำให้ได้

\Delta y=m\,\Delta x

ซึ่ง $m$ เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน $f$ ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น $x$ ใด ๆ

อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต

รูปที่ 1. เส้นสัมผัสที่ (x, f(x))

รูปที่ 2. เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f(x) กำหนดโดยจุด (x, f(x)) และ (x+h, f(x+h))

รูปที่ 3. เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

รูปที่ 4. ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง $Δ y / Δ x$ เมื่อ $Δ x$ เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก

สัญกรณ์

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์ อนุพันธ์อีกแบบหนึ่งซึ่งคิดขึ้นโดยนิวตันมีใช้บ้างในสาขาฟิสิกส์

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ $x$ แสดงได้เป็น $dx$ และอนุพันธ์ของ $y$ เทียบกับ $x$ เขียนได้ดังนี้

{\frac {dy}{dx}}\,\!

แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)

ส่วนสัญกรณ์ของลากรางจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f (x)$ เทียบกับ $x$ แสดงได้เป็น $f' (x)$ (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ $f x' (x)$ (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")

และในสัญกรณ์ของนิวตัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเขียนแทนด้วยจุดบนตัวแปรตาม นั่นคือ ถ้า y เป็นฟังก์ชันของ t แล้วอนุพันธ์ของ y เทียบกับ t จะเขียนแทนด้วย ${\dot {y}}$ ในขณะที่อนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นจะเพิ่มจำนวนจุด เช่น ${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$ สัญกรณ์นี้นิยมใช้สำหรับตัวแปรตามที่ขึ้นกับเวลา

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ

\Delta x\to 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ f ที่ x เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

{f(x+h)-f(x) \over h}

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง $f (x) = x 2$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x = 3$ และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ $f (3)$ เมื่อ $h$ เข้าใกล้ศูนย์:

{\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}\end{aligned}}

นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ $6 + h$ เมื่อ $h \neq 0$ และไม่นิยามเมื่อ $h = 0$ เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ $h = 0$ ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ $h$ เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า $6 + h$ เมื่อ $h$ มีค่าน้อยลงมาก ๆ

\lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6

ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด (3, 9) คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ $x = 3$ คือ $f'(3) = 6$

ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ $x = a$ คือ $f'(a) = 2 a$ :

{\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}

ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ณ a ได้ f จะต้องต่อเนื่องที่ a เสมอ ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ a จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เลือกจุด a และให้ f เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดที่มีค่า 1 สำหรับ x ทั้งหมดที่น้อยกว่า a และมีค่า 10 สำหรับ x ทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ a แล้ว f ไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ที่ a โดยหาก h เป็นค่าลบ a + h จะอยู่ที่ส่วนล่างของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h นั้นสูงชันมากและเมื่อ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ความชันจะไม่มีที่สิ้นสุด หาก h เป็นค่าบวก a + h จะอยู่บนส่วนสูงของขั้นบันได ดังนั้นเส้นตัดจาก a ถึง a + h มีความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นตัดจึงไม่ได้เข้าใกล้ความชันเดียว และลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างจึงไม่สามารถหาได้

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก็ยังอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ x = 0 แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หาก h เป็นค่าบวกความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ถ้า h เป็นลบความชันของเส้นตัดจาก 0 ถึง h จะเป็น -1 จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้นี้สามารถเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นมุมในกราฟที่ x = 0 แต่แม้ฟังก์ชันที่กราฟไม่หักมุมก็ยังอาจจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่ความชันเป็นแนวตั้ง: ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่กำหนดโดย f(x) = x^1/3 ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0

สรุปว่า ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์นั้นต่อเนื่อง แต่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด เพราะเหตุนี้ ในช่วงแรกของประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส นักคณิตศาสตร์หลายคนสันนิษฐานว่าฟังก์ชันต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดส่วนใหญ่ ซึ่งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรงมาก เช่นถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนหรือฟังก์ชันลิปชิตส์ สิ่งนี้จะเป็นจริง อย่างไรก็ตามในปี 1872 ไวเออร์ชตราส พบตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องได้ทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ไหน ตัวอย่างนี้เรียกว่าฟังก์ชันไวเออร์ชตราส ในปี 1931 สเตฟาน บานาค พิสูจน์ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด^[6] หมายความว่าการสุ่มฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ แทบไม่มีโอกาสเลยที่จะหาอนุพันธ์ได้แม้จุดเดียว

อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน

ถ้าฟังก์ชัน f สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ในทุกจุดในโดเมนของมัน เราสามารถนิยามฟังก์ชันที่พาค่า x ทุกค่าในโดเมนนั้นไปหาค่าของอนุพันธ์ของ f ที่ x ได้ ฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วย f' และเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์ ของ f

ในกรณีที่ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ครบทุกจุดในโดเมน ฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์นี้สำหรับจุดที่หาได้ และไม่นิยามสำหรับจุดอื่น ๆ ก็สามารถเรียกว่าอนุพันธ์ของ f ได้เช่นกัน ซึ่งอนุพันธ์นี้ยังคงเป็นฟีงก์ชัน แต่มีโดเมนเล็กกว่า f

จากมุมมองนี้ เราสามารถมองการหาอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน นั่นคือ อนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการที่มีโดเมนเป็นเซตของฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของตัวมันเอง และมีเรนจ์เป็นเซตของฟังก์ชัน หากเราแทนตัวดำเนินการนี้ด้วย D แล้วจะได้ D(f) = f' เนื่องจาก D(f) เป็นฟังก์ชัน สามารถหาค่าที่จด a ใด ๆ ได้ว่า D(f)(a) = f'(a)

แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน

\scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}

ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์

อนุพันธ์อันดับสูง

หาก f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดย f' เป็นอนุพันธ์ของ f แล้วอนุพันธ์ของ f' อีกทีหนึ่ง (ถ้าอนุพันธ์นี้หาได้) เขียนแทนด้วย f'' และเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสอง ของ f ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ f'' (ถ้าหาได้) เขียนแทนด้วย f''' และเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสาม ของ f เมื่อทำเช่นนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ เราก็จะได้นิยามของ อนุพันธ์อันดับที่ n ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ n - 1 อนุพันธ์อันดับตั้งแต่สองขึ้นไปนี้โดยรวมเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสูง (อังกฤษ: higher-order derivatives)

อนุพันธ์อันดับสูงมีนัยสำคัญในวิชาฟิสิกส์ กล่าวคือ ถ้า x(t) แสดงตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t แล้วอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ x แสดงความเร็วของวัตถุ และอันดับสองแสดงความเร่ง

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อันดับสูงกว่านั้น เช่น หาก

$f(x)={\begin{cases}+x^{2},&x\geq 0\\-x^{2},&x\leq 0\end{cases}}$

แล้วจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า f หาอนุพันธ์ได้เท่ากับ

$f'(x)={\begin{cases}+2x,&x\geq 0\\-2x,&x\leq 0\end{cases}}$

เท่ากับสองเท่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ที่ x = 0 ดังนั้น f ไม่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ค่า x นี้

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันสามารถมีอนุพันธ์ขึ้นไปถึงอันดับที่ k แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับที่ k + 1 ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ k ครั้ง และถ้าอนุพันธ์อันดับที่ k นี้ต่อเนื่องด้วย จะเรียกฟังก์ชันนั้นว่าอยู่ในคลาส C^k ฟังก์์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เรื่อย ๆ โดยไม่จำกัดครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันปรับเรียบ (อังกฤษ: smooth function)

ฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง โดยถ้าพหุนามดีกรี n ถูกหาอนุพันธ์ n ครั้งจะได้ฟังก์ชันค่าคงที่เสมอ และอนุพันธ์อันดับถัดจากนั้นก็จะเป็นศูนย์ทุกอันดับ ดังนั้นฟังก์ชันพหุนามทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันปรับเรียบ

จุดเปลี่ยนเว้า

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า^[7] ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ $x = 0$ ของฟังก์ชัน $y = x 3$ หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ $x = 0$ ของฟังก์ชัน $y = x 1/3$ ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า

รายละเอียดสัญกรณ์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซ

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ใน ค.ศ. 1675^[8] สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ y = f(x) ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

{\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x)

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ y ที่จุด x = a ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:^{[เชิงอรรถ 2]}

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

สัญกรณ์ของลากรางจ์

ในบางครั้งเราเรียกว่า สัญกรณ์ไพรม์^[9] หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เขียนได้ในรูป f′(x) หรือ f′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้

(f')'=f''\,

และ

(f'')'=f'''

เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:

f^{\mathrm {iv} }\,\!

หรือ

f^{(4)}

สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ f⁽ⁿ⁾ สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

สัญกรณ์ของนิวตัน

สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า y = f(t) แล้ว

{\dot {y}}

และ

{\ddot {y}}

หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ y เทียบกับ t ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์^[10]^[11] โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

สัญกรณ์ของออยเลอร์

สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ D ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน f เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง Df ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป D²f และอนุพันธ์อันดับ n เขียนได้ในรูป Dⁿf

ถ้า y = f(x) เป็นตัวแปรตาม แล้ว x จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ D เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น x ดังข้างล่าง

D_{x}y\,

หรือ

D_{x}f(x)\,

,

แต่ตัวห้อย x มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

กฎการคำนวณ

กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน

การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า

f(x)=x^{r}

เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

f'(x)=rx^{r-1}

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า $f(x)=x^{1/4}$ แล้ว

f'(x)=(1/4)x^{-3/4}

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว

f'=0

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

{\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0

{\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)

{\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)

{\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)

จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้

{\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x

{\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x

{\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

{\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1

{\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1

{\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน

ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

กฎผลรวม:

(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด $\alpha$ และ $\beta$

กฎผลคูณ:

(fg)'=f'g+fg'\,

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า

(\alpha f)'=\alpha f'

เมื่อไรก็ตามที่

\alpha

เป็นค่าคงที่ เพราะว่า

\alpha 'f=0\cdot f=0

จากกฎค่าคงที่

กฎผลหาร:

\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.

กฎลูกโซ่: ถ้า $f(x)=h(g(x))$ แล้ว

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,

ตัวอย่างการคำนวณ

อนุพันธ์ของ

f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,

คือ

{\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}

ในพจน์ที่สองของ $f$ คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ x², x⁴, sin(x), ln(x) และ exp(x) = e^x รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย

ทั่วไป

ดูเพิ่ม

หมายเหตุ

↑ Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.
↑ In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx·f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

อ้างอิง

↑ Gonick 2012, p. 83.
↑ Gonick 2012, p. 88; Strang et al. 2023, p. 234.
↑ Gonick 2012, pp. 77–80.
↑ Thompson 1998, pp. 84–85.
↑ Keisler 2012, pp. 902–904.
↑ Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8
↑ Apostol 1967, §4.18
↑ Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)
↑ "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. สืบค้นเมื่อ 24 October 2012.
↑ Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. p. 63. ISBN 0-8218-0772-2.
↑ Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. p. 1. ISBN 0-486-66721-9.

แหล่งข้อมูลอื่น

Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Derivative" จากแมทเวิลด์.
Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

[1] Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.

[10] In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx·f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

[FOOTNOTEGonick201283-2] Gonick 2012, p. 83.

[FOOTNOTEGonick201288Strang_et_al.2023[https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-2-the-derivative-as-a-function_234]-3] Gonick 2012, p. 88; Strang et al. 2023, p. 234.

[FOOTNOTEGonick201277–80-4] Gonick 2012, pp. 77–80.

[FOOTNOTEThompson199884–85-5] Thompson 1998, pp. 84–85.

[FOOTNOTEKeisler2012902–904-6] Keisler 2012, pp. 902–904.

[7] Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8

[8] Apostol 1967, §4.18

[9] Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)

[11] "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. สืบค้นเมื่อ 24 October 2012.

[12] Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. p. 63. ISBN 0-8218-0772-2.

[13] Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. p. 1. ISBN 0-486-66721-9.

[เชิงอรรถ 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[เชิงอรรถ 2]

[9]

[10]

[11]