กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ (อังกฤษ : Kepler's laws of planetary motion ) คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ ชาวเยอรมัน ชื่อ โยฮันเนส เคปเลอร์ (พ.ศ. 2114 – พ.ศ. 2173 ) เป็นผู้ค้นพบ
ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเคปเลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส
f1 และ
f2 สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ
f1 และ
f3 สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด
f1 (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน
A1 และ
A2 มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่
A1 เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่
A2 . (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ
a
1
3
/
2
:
a
2
3
/
2
{\displaystyle a1^{3/2}:a2^{3/2}}
.
เคปเลอร์ ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์ก ชื่อไทโค บราห์ (Tycho Brahe ) โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เคปเลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่ายๆ ทางคณิตศาสตร์
กฎของเคปเลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติล และสายทอเลมี และกฎทางฟิสิกส์ ในขณะนั้น เคปเลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรี มากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเคปเลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากล ของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัส ที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด
กฎ 3 ข้อของเคปเลอร์ แก้ไข
วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเคปเลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัส ที่ว่าวงโคจร เป็นวงกลม
ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรง ที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เคปเลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
กำลังสอง ของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วน โดยตรงกับกำลังสาม ของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วยกฎของเคปเลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้พิกัดขั้วศูนย์สุริยะ (heliocentric polar coordinate )
(
r
,
θ
)
{\displaystyle \ (r,\theta )}
อย่างไรก็ตาม กฎของเคปเลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinates ) [1]
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ แก้ไข
กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"
คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้
สมการคือ
r
=
p
1
+
ϵ
⋅
cos
θ
{\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}
โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง
เมื่อ θ =0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
r
m
i
n
=
p
1
+
ϵ
{\displaystyle r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\epsilon }}}
เมื่อ θ =90°: r =p และเมื่อ θ =180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด :
r
m
a
x
=
p
1
−
ϵ
{\displaystyle r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\epsilon }}}
กึ่งแกนเอก ของวงรี a คือมัชฌิมเลขคณิต ของ r min และ r max :
a
=
p
1
−
ϵ
2
{\displaystyle a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}}
กึ่งแกนโท ของวงรี b คือมัชฌิมเรขาคณิต ของ r min และ r max :
b
=
p
1
−
ϵ
2
{\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม
a
b
=
b
p
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{p}}}
ภาพแสดงกฎเคปเลอร์ข้อที่ 2
กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” [2]
กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (law of conservation of angular momentum )
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ
การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร
M
=
2
π
t
P
{\displaystyle M={\frac {2\pi t}{P}}}
2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเคปเลอร์ :
M
=
E
−
ϵ
⋅
sin
E
{\displaystyle \ M=E-\epsilon \cdot \sin E}
3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ:
tan
θ
2
=
1
+
ϵ
1
−
ϵ
⋅
tan
E
2
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}
4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก:
r
=
p
1
+
ϵ
⋅
cos
θ
{\displaystyle r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}}
กฎข้อที่ 3 “กำลังสอง ของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วน โดยตรงกับกำลังสาม ของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
P
2
∝
a
3
{\displaystyle P^{2}\propto a^{3}}
P
{\displaystyle P}
= คาบการโคจรของดาวเคราะห์
a
{\displaystyle a}
= แกนกึ่งเอกของวงโคจรดังนั้น P 2 ·a –3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ (sidereal year ) และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ (astronomical unit) P 2 ·a –3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ในหน่วยเอสไอ :
P
2
a
3
=
3.00
×
10
−
19
s
2
m
3
±
0.7
%
{\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}=3.00\times 10^{-19}{\frac {s^{2}}{m^{3}}}\pm \ 0.7\%\,}
ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา แก้ไข
ปัญหาเคปเลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
c ศูนย์กลางของวงรี
p ดาวเคราะห์และ
a
=
|
c
z
|
,
{\displaystyle \ a=|cz|,}
semimajor axis ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
ε
=
|
c
s
|
a
,
{\displaystyle \ \varepsilon ={|cs| \over a},}
ความเยื้องศูนย์กลาง
b
=
a
1
−
ε
2
,
{\displaystyle \ b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}
กึ่งแกนโท
r
=
|
s
p
|
,
{\displaystyle \ r=|sp|,}
ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
ν
=
∠
z
s
p
,
{\displaystyle \nu =\angle zsp,}
ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r ,ν ) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด , t
|
z
s
x
|
=
a
b
⋅
|
z
s
p
|
{\displaystyle |zsx|={\frac {a}{b}}\cdot |zsp|}
|
z
c
y
|
=
|
z
s
x
|
{\displaystyle \ |zcy|=|zsx|}
และ
M
=
∠
z
c
y
{\displaystyle M=\angle zcy}
, y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย
|
z
c
y
|
=
a
2
M
2
<
/
m
a
t
h
:<
m
a
t
h
>
|
z
s
p
|
=
b
a
⋅
|
z
s
x
|
=
b
a
⋅
|
z
c
y
|
=
b
a
⋅
a
2
M
2
=
a
b
M
2
{\displaystyle \ |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}</math:<math>|zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}}}
,
M
=
2
π
t
T
,
{\displaystyle M={2\pi t \over T},}
โดย T คือคาบการโคจร
|
z
c
y
|
=
|
z
s
x
|
=
|
z
c
x
|
−
|
s
c
x
|
{\displaystyle \ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|}
a
2
M
2
=
a
2
E
2
−
a
ε
⋅
a
sin
E
2
{\displaystyle {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}}
Division by a ²/2 gives Kepler's equation
M
=
E
−
ε
⋅
sin
E
{\displaystyle M=E-\varepsilon \cdot \sin E}
.
E
≈
M
+
(
ε
−
1
8
ε
3
)
sin
M
+
1
2
ε
2
sin
2
M
+
3
8
ε
3
sin
3
M
+
⋯
{\displaystyle E\approx M+\left(\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{3}\right)\sin M+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\sin 2M+{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{3}\sin 3M+\cdots }
a
⋅
cos
E
=
a
⋅
ε
+
r
⋅
cos
ν
.
{\displaystyle a\cdot \cos E=a\cdot \varepsilon +r\cdot \cos \nu .}
r
a
=
1
−
ε
2
1
+
ε
⋅
cos
ν
{\displaystyle \ {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}
to get
cos
E
=
ε
+
1
−
ε
2
1
+
ε
⋅
cos
ν
⋅
cos
ν
=
ε
⋅
(
1
+
ε
⋅
cos
ν
)
+
(
1
−
ε
2
)
⋅
cos
ν
1
+
ε
⋅
cos
ν
=
ε
+
cos
ν
1
+
ε
⋅
cos
ν
.
{\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}\cdot \cos \nu ={\frac {\varepsilon \cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(1-\varepsilon ^{2})\cdot \cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}={\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.}
tan
2
x
2
=
1
−
cos
x
1
+
cos
x
.
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}
จะได้
tan
2
E
2
=
1
−
cos
E
1
+
cos
E
=
1
−
ε
+
cos
ν
1
+
ε
⋅
cos
ν
1
+
ε
+
cos
ν
1
+
ε
⋅
cos
ν
=
(
1
+
ε
⋅
cos
ν
)
−
(
ε
+
cos
ν
)
(
1
+
ε
⋅
cos
ν
)
+
(
ε
+
cos
ν
)
=
1
−
ε
1
+
ε
⋅
1
−
cos
ν
1
+
cos
ν
=
1
−
ε
1
+
ε
⋅
tan
2
ν
2
.
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {E}{2}}={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}}={\frac {(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )-(\varepsilon +\cos \nu )}{(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(\varepsilon +\cos \nu )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \nu }{1+\cos \nu }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot \tan ^{2}{\frac {\nu }{2}}.}
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
tan
ν
2
=
1
+
ε
1
−
ε
⋅
tan
E
2
.
{\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}.}
ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร
ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเคปเลอร์:
r
=
a
⋅
1
−
ε
2
1
+
ε
⋅
cos
ν
.
{\displaystyle \ r=a\cdot {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.}
การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน แก้ไข
การอนุพัทธ์ของกฎเคปเลอร์ข้อที่ 2 แก้ไข
m
⋅
r
¨
=
M
⋅
m
r
2
⋅
(
−
r
^
)
⋅
G
{\displaystyle m\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot (-{\hat {\mathbf {r} }})\cdot G}
r
^
˙
=
θ
˙
θ
^
{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
where
θ
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
is the tangential unit vector, and
θ
^
˙
=
−
θ
˙
r
^
.
{\displaystyle {\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}.}
So the position vector
r
=
r
r
^
{\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
r
˙
=
r
˙
r
^
+
r
r
^
˙
=
r
˙
r
^
+
r
θ
˙
θ
^
,
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}
r
¨
=
(
r
¨
r
^
+
r
˙
r
^
˙
)
+
(
r
˙
θ
˙
θ
^
+
r
θ
¨
θ
^
+
r
θ
˙
θ
^
˙
)
=
(
r
¨
−
r
θ
˙
2
)
r
^
+
(
r
θ
¨
+
2
r
˙
θ
˙
)
θ
^
.
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}})+({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}})=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}
Note that for constant distance,
r
{\displaystyle \ r}
, the planet is subject to the centripetal acceleration ,
r
θ
˙
2
{\displaystyle r{\dot {\theta }}^{2}}
, and for constant angular speed,
θ
˙
{\displaystyle {\dot {\theta }}}
, the planet is subject to the coriolis acceleration ,
2
r
˙
θ
˙
{\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\theta }}}
.
Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m , gives the vector equation of motion
(
r
¨
−
r
θ
˙
2
)
r
^
+
(
r
θ
¨
+
2
r
˙
θ
˙
)
θ
^
=
−
G
M
r
−
2
r
^
{\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-GMr^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}
Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
r
¨
−
r
θ
˙
2
=
−
G
M
r
−
2
,
{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2},}
r
θ
¨
+
2
r
˙
θ
˙
=
0.
{\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.}
r
θ
˙
:
{\displaystyle \ r{\dot {\theta }}:}
θ
¨
θ
˙
+
2
r
˙
r
=
0
{\displaystyle {\frac {\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}}+2{\frac {\dot {r}}{r}}=0}
and integrate:
log
θ
˙
+
2
log
r
=
log
ℓ
,
{\displaystyle \log {\dot {\theta }}+2\log r=\log \ell ,}
where
log
ℓ
{\displaystyle \log \ell }
is a constant of integration , and exponentiate:
r
2
θ
˙
=
ℓ
.
{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .}
This says that the specific angular momentum
r
2
θ
˙
{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}}
is a constant of motion , even if both the distance
r
{\displaystyle \ r}
and the angular speed
θ
˙
{\displaystyle {\dot {\theta }}}
vary.
The area swept out from time t 1 to time t 2 ,
∫
t
1
t
2
1
2
⋅
b
a
s
e
⋅
h
e
i
g
h
t
⋅
d
t
=
∫
t
1
t
2
1
2
⋅
r
⋅
r
θ
˙
⋅
d
t
=
1
2
⋅
ℓ
⋅
(
t
2
−
t
1
)
{\displaystyle \ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot base\cdot height\cdot dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\cdot dt={\frac {1}{2}}\cdot \ell \cdot (t_{2}-t_{1})}
depends only on the duration t 2 −t 1 . This is Kepler's second law.
การอนุพัทธ์ของกฎเคปเลอร์ข้อที่ 1 แก้ไข
p
=
ℓ
2
G
−
1
M
−
1
{\displaystyle p=\ell ^{2}G^{-1}M^{-1}}
u
=
p
r
−
1
{\displaystyle \ u=pr^{-1}}
and get
−
G
M
r
−
2
=
−
ℓ
2
p
−
3
u
2
{\displaystyle -GMr^{-2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}
and
θ
˙
=
ℓ
r
−
2
=
ℓ
p
−
2
u
2
.
{\displaystyle \ {\dot {\theta }}=\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^{2}.}
X
˙
=
d
X
d
θ
⋅
θ
˙
=
d
X
d
θ
⋅
ℓ
p
−
2
u
2
.
{\displaystyle \ {\dot {X}}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}.}
Differentiate
r
=
p
u
−
1
{\displaystyle \ r=pu^{-1}}
twice:
r
˙
=
d
(
p
u
−
1
)
d
θ
⋅
ℓ
p
−
2
u
2
=
−
p
u
−
2
d
u
d
θ
⋅
ℓ
p
−
2
u
2
=
−
ℓ
p
−
1
d
u
d
θ
{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d(pu^{-1})}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-pu^{-2}{\frac {du}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }}}
r
¨
=
d
r
˙
d
θ
⋅
ℓ
p
−
2
u
2
=
d
d
θ
(
−
ℓ
p
−
1
d
u
d
θ
)
⋅
ℓ
p
−
2
u
2
=
−
ℓ
2
p
−
3
u
2
d
2
u
d
θ
2
{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}={\frac {d}{d\theta }}(-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }})\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}}
Substitute into the radial equation of motion
r
¨
−
r
θ
˙
2
=
−
G
M
r
−
2
{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2}}
and get
(
−
ℓ
2
p
−
3
u
2
d
2
u
d
θ
2
)
−
(
p
u
−
1
)
(
ℓ
p
−
2
u
2
)
2
=
−
ℓ
2
p
−
3
u
2
{\displaystyle (-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}})-(pu^{-1})(\ell p^{-2}u^{2})^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}
Divide by
−
ℓ
2
p
−
3
u
2
{\displaystyle -\ell ^{2}p^{-3}u^{2}}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
1.
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1.}
u
=
1.
{\displaystyle \ u=1.}
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=0}
These solutions are
u
=
ϵ
⋅
cos
(
θ
−
A
)
{\displaystyle \ u=\epsilon \cdot \cos(\theta -A)}
where
ϵ
{\displaystyle \ \epsilon }
and
A
{\displaystyle \ A}
are arbitrary constants of integration. So the result is
u
=
1
+
ϵ
⋅
cos
(
θ
−
A
)
{\displaystyle \ u=1+\epsilon \cdot \cos(\theta -A)}
Choosing the axis of the coordinate system such that
A
=
0
{\displaystyle \ A=0}
, and inserting
u
=
p
r
−
1
{\displaystyle \ u=pr^{-1}}
, gives:
p
r
−
1
=
1
+
ϵ
⋅
cos
θ
.
{\displaystyle \ pr^{-1}=1+\epsilon \cdot \cos \theta .}
If
ϵ
<
1
,
{\displaystyle \ \epsilon <1,}
this is Kepler's first law.
กฎเคปเลอร์ข้อที่ 3 แก้ไข
T
2
=
4
π
2
G
M
⋅
r
3
{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot r^{3}}
where:
T
2
=
4
π
2
G
(
M
+
m
)
⋅
a
3
{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}}
โดย:
1
2
⋅
(
1
−
ϵ
)
a
⋅
V
A
d
t
=
1
2
⋅
(
1
+
ϵ
)
a
⋅
V
B
d
t
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\epsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}
(
1
−
ϵ
)
⋅
V
A
=
(
1
+
ϵ
)
⋅
V
B
{\displaystyle (1-\epsilon )\cdot V_{A}=(1+\epsilon )\cdot V_{B}}
V
A
=
V
B
⋅
1
+
ϵ
1
−
ϵ
{\displaystyle V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}
m
V
A
2
2
−
G
m
M
(
1
−
ϵ
)
a
=
m
V
B
2
2
−
G
m
M
(
1
+
ϵ
)
a
{\displaystyle {\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\epsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\epsilon )a}}}
V
A
2
2
−
V
B
2
2
=
G
M
(
1
−
ϵ
)
a
−
G
M
(
1
+
ϵ
)
a
{\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\epsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\epsilon )a}}}
V
A
2
−
V
B
2
2
=
G
M
a
⋅
(
1
(
1
−
ϵ
)
−
1
(
1
+
ϵ
)
)
{\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\epsilon )}}-{\frac {1}{(1+\epsilon )}}\right)}
(
V
B
⋅
1
+
ϵ
1
−
ϵ
)
2
−
V
B
2
2
=
G
M
a
⋅
(
1
+
ϵ
−
1
+
ϵ
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
)
{\displaystyle {\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\epsilon -1+\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)}
V
B
2
⋅
(
1
+
ϵ
1
−
ϵ
)
2
−
V
B
2
=
2
G
M
a
⋅
(
2
ϵ
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
)
{\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)}
V
B
2
⋅
(
(
1
+
ϵ
)
2
−
(
1
−
ϵ
)
2
(
1
−
ϵ
)
2
)
=
4
G
M
ϵ
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
{\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\epsilon )^{2}-(1-\epsilon )^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
V
B
2
⋅
(
1
+
2
ϵ
+
ϵ
2
−
1
+
2
ϵ
−
ϵ
2
(
1
−
ϵ
)
2
)
=
4
G
M
ϵ
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
{\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\epsilon +\epsilon ^{2}-1+2\epsilon -\epsilon ^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
V
B
2
⋅
4
ϵ
=
4
G
M
ϵ
⋅
(
1
−
ϵ
)
2
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
{\displaystyle V_{B}^{2}\cdot 4\epsilon ={\frac {4GM\epsilon \cdot (1-\epsilon )^{2}}{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
V
B
=
G
M
⋅
(
1
−
ϵ
)
a
⋅
(
1
+
ϵ
)
.
{\displaystyle V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}.}
d
A
d
t
=
1
2
⋅
(
1
+
ϵ
)
a
⋅
V
B
d
t
d
t
=
1
2
⋅
(
1
+
ϵ
)
a
⋅
V
B
{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}}
=
1
2
⋅
(
1
+
ϵ
)
a
⋅
G
M
⋅
(
1
−
ϵ
)
a
⋅
(
1
+
ϵ
)
=
1
2
⋅
G
M
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
{\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}
T
⋅
d
A
d
t
=
π
a
(
1
−
ϵ
2
)
a
{\displaystyle T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a}
T
⋅
1
2
⋅
G
M
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
=
π
(
1
−
ϵ
2
)
a
2
{\displaystyle T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}
T
=
2
π
(
1
−
ϵ
2
)
a
2
G
M
a
⋅
(
1
−
ϵ
)
(
1
+
ϵ
)
=
2
π
a
2
G
M
a
=
2
π
G
M
a
3
{\displaystyle T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}}
T
2
=
4
π
2
G
M
a
3
.
{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}
T
2
=
4
π
2
G
(
M
+
m
)
a
3
.
{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}
Q.E.D.
แหล่งข้อมูลอื่น แก้ไข
Crowell, Benjamin, Conservation Laws , http://www.lightandmatter.com/area1book2.html , an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial , http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html , an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
Equant compared to Kepler: interactive model [2]
Kepler's Third Law:interactive model[3]