กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ (อังกฤษ: Kepler's laws of planetary motion) คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ

ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส f1 และ f2 สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ f1 และ f3 สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด f1 (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน A1 และ A2 มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ A1 เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ A2. (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ $a1^{3/2}:a2^{3/2}$.

เค็พเพลอร์ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์

1. วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
2. ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
3. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้พิกัดขั้วศูนย์สุริยะ (heliocentric polar coordinate) $\ (r,\theta )$ อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinates)

รายละเอียดทางคณิตศาสตร์

กฎข้อที่ 1

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"

คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้

สมการคือ

$r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}$

โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

$r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\epsilon }}$

เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:

$r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\epsilon }}$

กึ่งแกนเอกของวงรี a คือมัชฌิมเลขคณิตของ r_min และ r_max:

$a={\frac {p}{1-\epsilon ^{2}}}$

กึ่งแกนโทของวงรี b คือมัชฌิมเรขาคณิตของ r_min และ r_max:

$b={\frac {p}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}$

นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

${\frac {a}{b}}={\frac {b}{p}}$

กฎข้อที่ 2

ภาพแสดงกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน”

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (law of conservation of angular momentum) โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้

1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร

$M={\frac {2\pi t}{P}}$

2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเค็พเพลอร์:

$\ M=E-\epsilon \cdot \sin E$

3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ:

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$

4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก:

$r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \theta }}$

กฎข้อที่ 3

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

$P^{2}\propto a^{3}$

$P$ = คาบการโคจรของดาวเคราะห์

$a$ = แกนกึ่งเอกของวงโคจร

ดังนั้น P²·a^–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ (sidereal year) และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ (astronomical unit) P²·a^–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ ในหน่วยเอสไอ: ${\frac {P^{2}}{a^{3}}}=3.00\times 10^{-19}{\frac {s^{2}}{m^{3}}}\pm \ 0.7\%\,$

ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา

ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:

• s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
• z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
• c ศูนย์กลางของวงรี
• p ดาวเคราะห์

และ

$\ a=|cz|,$ semimajor axis ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก

$\ \varepsilon ={|cs| \over a},$ ความเยื้องศูนย์กลาง

$\ b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},$ กึ่งแกนโท

$\ r=|sp|,$ ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์

$\nu =\angle zsp,$ ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t

$|zsx|={\frac {a}{b}}\cdot |zsp|$ $\ |zcy|=|zsx|$ และ

$M=\angle zcy$, y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย

$\ |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}</math:<math>|zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}}$ ,

$M={2\pi t \over T},$

โดย T คือคาบการโคจร

$\ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|$

${\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}$

Division by a²/2 gives Kepler's equation

$M=E-\varepsilon \cdot \sin E$.

$E\approx M+\left(\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{3}\right)\sin M+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\sin 2M+{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{3}\sin 3M+\cdots$

$a\cdot \cos E=a\cdot \varepsilon +r\cdot \cos \nu .$

$\ {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}$

to get

$\cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}\cdot \cos \nu ={\frac {\varepsilon \cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(1-\varepsilon ^{2})\cdot \cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}={\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.$

$\tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.$

จะได้

$\tan ^{2}{\frac {E}{2}}={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \nu }{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}}}={\frac {(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )-(\varepsilon +\cos \nu )}{(1+\varepsilon \cdot \cos \nu )+(\varepsilon +\cos \nu )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \nu }{1+\cos \nu }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot \tan ^{2}{\frac {\nu }{2}}.$

คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์

$\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}.$

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:

$\ r=a\cdot {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cdot \cos \nu }}.$

การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

$m\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot (-{\hat {\mathbf {r} }})\cdot G$

${\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$

where ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ is the tangential unit vector, and

${\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}.$

So the position vector

$\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$

is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector

${\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$

${\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}})+({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}})=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

Note that for constant distance, $\ r$, the planet is subject to the centripetal acceleration, $r{\dot {\theta }}^{2}$, and for constant angular speed, ${\dot {\theta }}$, the planet is subject to the coriolis acceleration, $2{\dot {r}}{\dot {\theta }}$.

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m, gives the vector equation of motion

$({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-GMr^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}$

Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2},$

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.$

$\ r{\dot {\theta }}:$

${\frac {\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}}+2{\frac {\dot {r}}{r}}=0$

and integrate:

$\log {\dot {\theta }}+2\log r=\log \ell ,$

where $\log \ell$ is a constant of integration, and exponentiate:

$r^{2}{\dot {\theta }}=\ell .$

This says that the specific angular momentum $r^{2}{\dot {\theta }}$ is a constant of motion, even if both the distance $\ r$ and the angular speed ${\dot {\theta }}$ vary.

The area swept out from time t₁ to time t₂,

$\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot base\cdot height\cdot dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\cdot dt={\frac {1}{2}}\cdot \ell \cdot (t_{2}-t_{1})$

depends only on the duration t₂−t₁. This is Kepler's second law.

การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 1

$p=\ell ^{2}G^{-1}M^{-1}$

$\ u=pr^{-1}$

and get

$-GMr^{-2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}$

and

$\ {\dot {\theta }}=\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^{2}.$

$\ {\dot {X}}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}.$

Differentiate

$\ r=pu^{-1}$

twice:

${\dot {r}}={\frac {d(pu^{-1})}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-pu^{-2}{\frac {du}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }}$

${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}={\frac {d}{d\theta }}(-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }})\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}$

Substitute into the radial equation of motion

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2}$

and get

$(-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}})-(pu^{-1})(\ell p^{-2}u^{2})^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}$

Divide by $-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1.$

$\ u=1.$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=0$

These solutions are

$\ u=\epsilon \cdot \cos(\theta -A)$

where $\ \epsilon$ and $\ A$ are arbitrary constants of integration. So the result is

$\ u=1+\epsilon \cdot \cos(\theta -A)$

Choosing the axis of the coordinate system such that $\ A=0$, and inserting $\ u=pr^{-1}$, gives:

$\ pr^{-1}=1+\epsilon \cdot \cos \theta .$

If $\ \epsilon <1,$ this is Kepler's first law.

กฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 3

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot r^{3}$

where:

• T = planet's sidereal period
• r = radius of the planet's circular orbit
• G = the gravitational constant
• M = mass of the sun

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}$

โดย:

• T = object's sidereal period
• a = object's semimajor axis
• G = the gravitational constant = 6.67 × 10⁻¹¹ N • m²/kg²
• M = mass of one object
• m = mass of the other object

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\epsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt$

$(1-\epsilon )\cdot V_{A}=(1+\epsilon )\cdot V_{B}$

$V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}$

${\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\epsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\epsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\epsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\epsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\epsilon )}}-{\frac {1}{(1+\epsilon )}}\right)$

${\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\epsilon -1+\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\epsilon }{(1-\epsilon )(1+\epsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\epsilon )^{2}-(1-\epsilon )^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\epsilon +\epsilon ^{2}-1+2\epsilon -\epsilon ^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\epsilon }{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot 4\epsilon ={\frac {4GM\epsilon \cdot (1-\epsilon )^{2}}{a\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}.$

${\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}$

$={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\epsilon )}{a\cdot (1+\epsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}$

$T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a$

$T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}$

$T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}$

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.$

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.$

Q.E.D.

ดูเพิ่ม

• Kepler problem
• Circular motion
• Gravity
• Two-body problem
• Free-fall time

แหล่งข้อมูลอื่น

• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html Archived 2006-09-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
• Equant compared to Kepler: interactive model [2] Archived 2008-12-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Kepler's Third Law:interactive model[3] Archived 2008-12-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน