มุมกวาดจริง

ในทางดาราศาสตร์และกลศาสตร์ท้องฟ้า มุมกวาดจริง (true anomaly) คือตัวแปรหนึ่งที่ใช้แสดงถึงตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ๆ ซึ่งมีการเคลื่อนที่ไปในวงโคจรตามกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

มุมกวาดจริงถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลไปยังจุดใกล้ที่สุดในวงโคจร (เรียกว่าเวกเตอร์รุงเงอ–เลนทซ์) กับเส้นที่ลากจากศูนย์กลางมวลมายังวัตถุ กล่าวคือ ในรูปด้านขวา เมื่อ p คือตำแหน่งของวัตถุ z คือจุดใกล้ที่สุด และ s คือโฟกัส (ตำแหน่งของศูนย์กลางมวล หรือ ดาวฤกษ์หลัก) แล้วมุม $\nu =\angle zsp$ ก็คือมุมกวาดจริง ดังนั้น ระยะทาง r ระหว่างดาวฤกษ์หลักกับวัตถุท้องฟ้าสามารถเขียนในรูปของมุมกวาดจริง $\nu$ ได้เป็น

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \nu }}$

โดยที่ $a$ คือกึ่งแกนเอก และ $e$ คือ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ความสัมพันธ์กับค่ามุมอื่น

ในการคำนวณบางอย่าง เป็นการสะดวกกว่าที่จะใช้มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดจริงกับมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางคือ

$\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

ถ้าแทน

$\beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)$

จะเขียนใหม่ได้ในรูปอนุกรมได้เป็น

${\begin{aligned}\nu &=E+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {2}{s}}\beta ^{s}\sin sE\\&=E+2\left(\beta \sin E+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\sin 2E+{\frac {\beta ^{3}}{3}}\sin 3E+{\frac {\beta ^{4}}{4}}\sin 4E+\cdots \right)\end{aligned}}$

จากการใช้สูตรคำนวณนี้ หากได้ค่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ ของวัตถุท้องฟ้าแล้ว ก็จะสามารถคำนวณมุมกวาดจริง $\nu$ ได้

อีกทางหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง $E$ และ มุมกวาดเฉลี่ย $M$ สามารถหาได้จากการแก้สมการเค็พเพลอร์ ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นอนุกรมฟูรีเยสำหรับหาค่ามุมกวาดจริง $\nu$ จากมุมกวาดเฉลี่ย $M$ ได้เป็น

${\begin{aligned}\nu &=M+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+e^{3}\left({\frac {13}{12}}\sin 3M-{\frac {1}{4}}\sin M\right)\\&+e^{4}\left({\frac {103}{96}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)\\&+e^{5}\left({\frac {1097}{960}}\sin 5M-{\frac {43}{64}}\sin 3M+{\frac {5}{96}}\sin M\right)\\&+e^{6}\left({\frac {1223}{960}}\sin 6M-{\frac {451}{480}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)+\cdots \end{aligned}}$