มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง (eccentric anomaly) เป็นหนึ่งในตัวแปรค่ามุมที่แสดงตำแหน่งของวัตถุบนวงโคจรวงรี นิยามโดยเป็นมุม $E=\angle FCP'$ ในรูปด้านขวา โดย C คือจุดศูนย์กลางวงโคจร F คือตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล (จุดโฟกัส) และมุม $f=\angle AFP$ คือมุมกวาดจริง

มุมกวาดเยื้องศูนย์กลางคือมุม E ในรูปนี้

ภาพรวม

สมการของวงรีที่มี กึ่งแกนเอก $a$ และกึ่งแกนโท $b$ คือ

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

และอาจเขียนโดยใช้ตัวแปรเสริมได้เป็น

$x=a\cos E$

และ

$y=b\sin E$

โดย E ก็คือค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวล (จุดโฟกัส) $r$ สามารถแสดงโดยใช้ ความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร $e$ และกึ่งแกนเอก $a$ ซึ่งเป็นตัวแปรที่กำหนดลักษณะของวงโคจรวงรีได้โดย

$r=a(1-e\cos E)$

และค่ามุมกวาดจริง $\nu$ จะคำนวณได้โดย

$\cos \nu ={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}$

$\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

สมการเค็พเพลอร์

มุมกวาดเฉลี่ย $M$ สามารถคำนวณได้จากมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางเป็น

$M=E-e\sin E$

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมการเค็พเพลอร์

ในการคำนวณมุมกวาดเยื้องศูนย์กลางจากมุมกวาดเฉลี่ยนั้น กรณีที่ค่า $e$ มีขนาดเล็ก ($e<0.6627434$) สามารถคำนวณโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด $E_{i+1}=M+e\sin E_{i}$ โดยเริ่มต้นจาก $E_{0}=M$

เขียน $E$ในรูปอนุกรมกำลังของ $e$ พจน์แรก ๆ ได้เป็น

$E=M+e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+{\frac {e^{3}}{8}}(3\sin 3M-\sin M)+\dots$