อนุกรมฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเย (อังกฤษ: Fourier series) เป็นอนุกรมที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์และฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไปอนุกรมฟูรีเยสามารถใช้เป็นอนุกรมแทนฟังก์ชันคาบได้

ประวัติแก้ไข

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเยตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเย ผู้ริเริ่มใช้อนุกรมฟูรีเยเพื่อใช้แก้สมการความร้อนบนแผ่นโลหะ[1]

นิยามแก้ไข

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
   
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula)   เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ   และ  
   

 

โดยที่  ,   และ  

ตัวอย่างแก้ไข

พิจารณาฟังก์ชัน   สำหรับค่า   และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

 

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

 
 
 
 

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

 
 

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

 
ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ


อ้างอิงแก้ไข

  1. Simmons, George F. (2017). Differential equations with applications and historical notes (3rd ed.). Boca Raton: Taylor & Francis Inc. pp. 299–300. ISBN 978-1-4987-0259-1. OCLC 961248509.