รูปสี่เหลี่ยม
ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)
รูปสี่เหลี่ยม | |
---|---|
รูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ หกชนิด | |
ขอบและจุดยอด | 4 |
สัญลักษณ์ชเลฟลี | {4} (สำหรับจัตุรัส) |
พื้นที่ | คำนวณได้หลายวิธี; ดูด้านล่าง |
มุมภายใน (องศา) | 90° (สำหรับจัตุรัส) |
รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา [1]
รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถ[เทสเซลเลชัน|ปูเต็มปริภูมิ]โดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน
การจำแนกชั้น
แก้การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย
รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน
แก้- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามมีความยาวเท่ากัน หรือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกันและมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากันและมุมทั้งสี่ไม่เป็นมุมฉาก มีความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
- รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก นั่นคือมุมเท่ากันทุกมุม เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันและมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน และด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมจะถือว่าเป็นจัตุรัสก็ต่อเมื่อถูกจัดว่าเป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
- รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน นั่นคือไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ
แก้- รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ เป็นนัยว่าถ้าลากเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวออกเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะได้ว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีขนาดเท่ากัน และเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน (สมบัติเหล่านี้อาจหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร ในบริบทของเทสเซลเลชัน แต่ในแนวคิดทั่วไปหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมนูนอย่างเดียว)
- รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน หมายรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว และรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร
- รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่
- รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน มีขนาดเท่ากัน เป็นนัยว่าด้านอื่นอีกสองด้านยาวเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน คำนิยามอื่นคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรแบ่งครึ่งด้านคู่ขนานหนึ่งคู่
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนรูปวงกลมแนบนอก รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นวงกลมล้อมก็ต่อเมื่อมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180 องศา
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสี่สัมผัสกับรูปวงกลมแนบใน
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส
- รูปสี่เหลี่ยมด้านไม่ขนาน หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมไม่ปรกติ คือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกันเลย แต่บางกรณีบางด้านและบางมุมอาจมีขนาดเท่ากันก็ได้
รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ
แก้- รูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร คือรูปสี่เหลี่ยมเว้าซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ สมบัติเหมือนรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว แต่มีมุมภายในมุมหนึ่งเป็นมุมกลับ
- รูปสี่เหลี่ยมไขว้ หรือรูปสี่เหลี่ยมผีเสื้อ หรือรูปสี่เหลี่ยมหูกระต่าย คือรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อนซึ่งมีด้านที่ตัดกันเอง
- รูปสี่เหลี่ยมเบ้ คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบสองมิติ สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างหน้าบนขอบ และมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน ได้รับทอดมาจากการศึกษาสมบัติของโมเลกุลเช่นไซโคลบิวเทน ซึ่งมีวงแหวนที่ประกอบด้วยอะตอมสี่ตัวร่นเข้าหากัน [2]
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน
แก้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น [3]
เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°
สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) [4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้
เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°
อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)
ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น
และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง
สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม [5]
เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ
นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° [6]
ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น
สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ
แก้- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมไขว้หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า ไม่ตัดกันภายในรูปสี่เหลี่ยม
- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุมภายในพอดี
- กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ
- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ มีด้าน a=AB, b=BC, c=CD, d=DA และมีเส้นทแยงมุม p=AC, q=BD จะมีสมบัติว่า
- รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป s ; รัศมีของรูปวงกลมแนบนอกคำนวณได้จาก [7]
- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับโดยที่ d=b, c=a และมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า
- กำหนดให้ P เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า
- เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่เสมอ
- รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉากที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า [6][8]: p.136
- ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเลขคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ [9]
- ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเรขาคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ [9]
สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
แก้- ความยาวของเส้นทแยงมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a และ b ที่อยู่ติดกันและทำมุม θ คือ ซึ่งกลายมาจากกฎของโคไซน์
- เมื่อเชื่อมจุดกึ่งกลางบนแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก และเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในก็ยาวเท่ากับผลบวกของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก
- สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบอยู่บนด้านทั้งสี่ ซึ่งมีขนาดเท่ากับแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงข้าม จะยาวเท่ากันและตั้งฉากซึ่งกันและกัน
- ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม รวมทั้งสามเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว และแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงนั้น ๆ ด้วย [8]: p.125
- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ [8]: p.126
- เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อประกอบกันจะทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม [8]: p.127
อ้างอิง
แก้- ↑ Stars: A Second Look เก็บถาวร 2016-03-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, p. 2
- ↑ M.P. Barnett and J.F. Capitani, Modular chemical geometry and symbolic calculation, International Journal of Quantum Chemistry, 106 (1) 215--227, 2006.
- ↑ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310-311.
- ↑ R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, 2007, Dover Publ., p. 82.
- ↑ E. W. Weisstein. "Bretschneider's formula". MathWorld -- A Wolfram Web Resource.[ลิงก์เสีย]
- ↑ 6.0 6.1 Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, July 2009, 306-309.
- ↑ Hoehn, Larry, "Circumradius of a cyclic quadrilateral," Mathematical Gazette 84, March 2000, 69-70.
- ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
- ↑ 9.0 9.1 Buchholz, R. H., and MacDougall, J. A. "Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression", Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 263-269. http://journals.cambridge.org/article_S0004972700032883
แหล่งข้อมูลอื่น
แก้- เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Quadrilateral" จากแมทเวิลด์.
- Compendium Geometry Analytic Geometry of Quadrilaterals
- Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors, Projective Collinearity and Interactive Classification of Quadrilaterals from cut-the-knot
- Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
- Venn Diagram of Quadrilaterals[ลิงก์เสีย]
- An extended classification of quadrilaterals เก็บถาวร 2019-12-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at Dynamic Math Learning Homepage เก็บถาวร 2018-08-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
- The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals เก็บถาวร 2011-07-19 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน by Michael de Villiers