กฎของโคไซน์

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยม มุม α (หรือ A), β (หรือ B), และ γ (หรือ C) เป็นมุมตรงข้ามด้าน a, b, และ c

ในตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์ (อังกฤษ: law of cosines) เป็นกฎที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมกับโคไซน์ของมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของโคไซน์เขียนได้ดังสมการต่อไปนี้ กำหนดให้ชื่อของด้านและมุมเป็นไปตามรูปที่ 1

เมื่อ γ เป็นมุมระหว่างด้านที่มีความยาว a และ b และตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว c

กฎของโคไซน์นั้นกล่าวครอบคลุมถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้ามุม γ เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90° หรือ π/2 เรเดียน) แล้ว cos γ = 0 จะได้กฎของโคไซน์ที่ลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎของโคไซน์มีประโยชน์ในการคำนวณความยาวด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่มีด้านทั้งสองนั้นเป็นด้านประกอบ และสามารถคำนวณมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าทราบความด้านทั้งสาม

การพิสูจน์แก้ไข

การใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุดแก้ไข

 
รูปที่ 2 – การพิสูจน์โดยใช้พิกัดทางเรขาคณิต

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a, b, c, เมื่อ θ คือ ขนาดของมุมตรงข้ามของด้านยาว c รูปสามเหลี่ยมรูปนี้สามารถวางบนระบบพิกัดคาร์ทีเชียนโดยการลงจุดดังรูปที่ 2

 

จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

 

จากนั้นแก้สมการ

 

ข้อดีของการพิสูจน์นี้ คือ มันไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกเป็นกรณีต่าง ๆ ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแก้ไข

  ลากเส้นตรง   ให้ตั้งฉากกับ  

สมมติให้   ยาว   หน่วย


จาก   ดังนั้น  

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

 

 

 

เนื่องจาก  

 

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

 

 

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

ดูเพิ่มแก้ไข

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cosine theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
  • Interactive applet of Law of Cosines