เปิดเมนูหลัก
พหุนาม x2 + cx + d เมื่อ a + b = c และ ab = d สามารถแยกตัวประกอบให้เป็น (x + a)(x + b)

การแยกตัวประกอบ (อังกฤษ: factorization) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม สามารถแยกได้เป็น เป็นต้นจำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ซึ่งทำให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำดับ

จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบคือการลดทอนวัตถุให้เล็กลง อาทิ จากจำนวนไปเป็นจำนวนเฉพาะ จากพหุนามไปเป็นพหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบคือการกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสำหรับจำนวนขนาดใหญ่อาจกลายเป็นข้อปัญหาที่ยุ่งยาก ซึ่งไม่มีวิธีใดที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว แต่ความยุ่งยากนี้เป็นประโยชน์ต่อการรักษาความปลอดภัยในขั้นตอนวิธีของการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร อย่างเช่น RSA

สำหรับการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เรียกว่า การแยกเมทริกซ์ (matrix decomposition) ซึ่งมีวิธีการที่เหมาะสมแตกต่างกันไปสำหรับเมทริกซ์นั้นๆ เช่น การแยกแบบคิวอาร์ (QR decomposition) เป็นต้น วิธีหลักอย่างหนึ่งที่นิยมคือการทำให้เป็นผลคูณของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) หรือเมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix) กับเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยม (triangular matrix)

อีกตัวอย่างหนึ่งของการแยกตัวประกอบคือการแยกฟังก์ชันให้กลายเป็นการประกอบฟังก์ชัน (function composition) กับฟังก์ชันอื่นโดยมีเงื่อนไขที่เจาะจง ตัวอย่างเงื่อนไขเช่น ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการประกอบของฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) กับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) เป็นต้น

เนื้อหา

234แก้ไข

พหุนามแก้ไข

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองแก้ไข

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป   เมื่อ  ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป   เมื่อ   และ   คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

 

พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็มแก้ไข

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม

 

สามารถแยกได้เป็น

 

เมื่อ

 
 
 

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลังสอง

ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์แก้ไข

 
แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

 
 

ผลบวกและผลต่างกำลังสองแก้ไข

ดูบทความหลักที่: ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

 

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

 

ตัวอย่างเช่น   สามารถแยกได้เป็น   เป็นต้น

การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆแก้ไข

ผลบวกและผลต่างกำลังสามแก้ไข

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น

 

และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

 

เช่น x3 − 103 (or x3 − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x2 + 10x + 100)