จำนวน

จำนวน (อังกฤษ: number) คือวัตถุนามธรรมที่ใช้สำหรับอธิบายปริมาณ จำนวนมีหลายแบบ จำนวนที่เป็นที่คุ้นเคยก็คือ

• จำนวนธรรมชาติ {1,2,3,...} ที่เขียนแทนด้วยว่า N
• ถ้ายอมให้มีจำนวนเต็มลบ ก็จะได้ จำนวนเต็ม หรือที่เขียนแทนด้วย Z
• อัตราส่วนระหว่างจำนวนเต็มเรียกว่า จำนวนตรรกยะ หรือเศษส่วน โดยที่เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วย Q
• ในการแสดงจำนวนด้วยระบบตัวเลขทศนิยม ถ้ารวมจำนวนที่มีจำนวนหลักไม่จำกัดและไม่จำเป็นต้องมีการซ้ำกันของทศนิยมเข้าไปด้วย จะได้จำนวนจริง หรือ R
• จำนวนจริงที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ
• จำนวนจริงสามารถขยายเป็น จำนวนเชิงซ้อน หรือ C ที่ทำให้เกิดฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่ทุก ๆ พหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างสมบูรณ์
• จำนวนเชิงซ้อนที่เป็นรากหรือคำตอบของสมการพหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนเชิงพีชคณิต
• จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิตเรียกว่า จำนวนอดิศัย (transcendental number)

ตัวอักษรสัญลักษณ์ข้างต้น มักเขียนให้เป็นอักษรแบบกระดานดำ นั่นคือ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

จำนวนเชิงซ้อน สามารถขยายเป็น ควอเทอร์เนียน แต่การคูณในระบบควอเทอร์เนียนนั้น ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ในลักษณะเดียวกัน ออคโนเนียน คือ ส่วนขยายของควอเทอร์เนียน แต่ในครั้งนี้ คุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จะสูญเสียไป ระบบพีชคณิตการหารที่มีมิติจำกัด และมีคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่บน R คือจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน เท่านั้น สมาชิกของฟีลด์ฟังก์ชันเชิงพีชคณิตที่มีแคแรกเทอริสติกจำกัดมีลักษณะหลาย ๆ ประการคล้ายคลึงกับจำนวน ทำให้นักทฤษฎีจำนวนมักพิจารณาให้เป็นจำนวนประเภทหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนนั้นแตกต่างจากตัวเลข ซึ่งเป็นกลุ่มของสัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน รูปแบบการเขียนจำนวนด้วยตัวเลขหลาย ๆ หลักถูกอธิบายในระบบตัวเลข

ผู้คนมักนิยมกำหนดจำนวนให้กับวัตถุต่าง ๆ เพื่อสร้างชื่อเฉพาะ ซึ่งมีแผนการให้หมายเลขอยู่หลายแบบ

ส่วนขยาย

ส่วนขยายในที่นี้หมายถึงการขยาย จำนวนมาตรฐาน (โดยปกติหมายถึงจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ออกไปให้ครอบคลุม จำนวนชนิดอื่นๆ มากยิ่งขึ้น

• จำนวนซูเปอร์เรียล (Superreal) และ จำนวนไฮเพอร์เรียล (hyperreal), ได้นิยามจำนวนอนันต์ และ จำนวนกณิกนันต์เพิ่มเติมในระบบจำนวนจริง

1. จำนวนกณิกนันต์ (infinitesimal number) จำนวนประเภทนี้ ในกรณีเป็นจำนวนบวก หมายถึง "จำนวนที่เล็กกว่าจำนวนจริงบวกทุกตัวแต่ใหญ่กว่าศูนย์" ส่วนกรณีที่เป็นจำนวนลบหมายถึง "จำนวนที่ใหญ่กว่าจำนวนจริงลบทุกตัวแต่น้อยกว่าศูนย์"
2. จำนวนอนันต์ (infinite number) จำนวนประเภทนี้หมายถึง "จำนวนที่ใหญ่กว่าจำนวนจริงทุกตัว" ในกรณีเป็นจำนวนบวก หรือ "จำนวนที่เล็กกว่าจำนวนจริงทุกตัว" ในกรณีเป็นจำนวนลบ

การเพิ่มจำนวนสองประเภทนี้เข้าไปในระบบจำนวนมาตรฐาน มีผลให้แคลคูลัสตามแนวคิดดั้งเดิมของไลบ์นิซสามารถพิสูจน์อย่างเคร่งครัดได้

นอกจากนี้ยังมีจำนวนเซอร์เรียล (surreal number)ที่ถูกนิยามโดยจอห์น คอนเวย์ จำนวนเซอร์เรียลครอบคลุมจำนวนไฮเพอร์เรียลและยังมีจำนวนชนิดอื่น ๆ เพิ่มเติมมากขึ้นไปอีก

• ในขณะที่จำนวนจริง (ส่วนใหญ่) มีส่วนขยายไปทางด้านขวา (ทศนิยม) ที่มีความยาวไม่จำกัด สามารถลองให้จำนวนมีส่วนขยายไปทางด้านซ้ายที่มีความยาวไม่จำกัดในฐาน $p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ การขยายดังกล่าวจะทำให้ได้จำนวน p-แอดิก
• สำหรับการจัดการกับเซตที่มีจำนวนสมาชิกไม่จำกัด จำนวนธรรมชาติถูกทำให้มีนัยทั่วไปเป็นจำนวนเชิงอันดับที่ (ordinal number) สำหรับระบุลำดับในเซต และจำนวนเชิงการนับ (cardinal number) สำหรับระบุขนาด (ในกรณีของเซตจำกัด จำนวนเชิงอันดับที่และจำนวนเชิงการนับจะเหมือนกัน ความแตกต่างจะเกิดขึ้นในกรณีของเซตไม่จำกัดเท่านั้น)

การดำเนินการทางพีชคณิตของจำนวน เช่น การบวก การลบ การคูณ และ การหาร ถูกทำให้มีนัยทั่วไปในสาขาของคณิตศาสตร์ ที่เรียกว่า พีชคณิตนามธรรม ทำให้ได้กรุป ริง และฟิลด์

อ้างอิง

• R. Courant, H. Robbins and I. Stewart. Chapter 9 in What is Mathematics?, 2nd Ed. Oxford University Press, 1996.
• D.E. Knuth. Surreal Number. Addison-Wesley, 1974

ดูเพิ่ม

• จำนวนคู่และจำนวนคี่
• ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์
• จำนวนจากความเชื่อ (อังกฤษ)
• จำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ
• จำนวนเฉพาะ
• รายชื่อจำนวน

แหล่งข้อมูลอื่น

• Wiktionary article on number เก็บถาวร 2008-12-01 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• What's special about this number? เก็บถาวร 2018-02-23 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• What's a Number?