การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

ในทฤษฎีจำนวน การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม (อังกฤษ: integer factorization) หรือ การแยกตัวประกอบเฉพาะ (อังกฤษ: prime factorization) คือการแบ่งย่อยจำนวนประกอบออกเป็นตัวหารไม่ชัด (ตัวหารที่ไม่ใช่ 1 กับ ตัวมันเอง) หลายๆ ตัว ซึ่งเมื่อคูณตัวหารไม่ชัดเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม

เมื่อจำนวนมีขนาดใหญ่มาก ไม่มีขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มใดๆ ที่มีประสิทธิภาพเพียงพอ ในปี 2009 ความพยายามในการแยกตัวประกอบของเลข 232 หลัก ได้สำเร็จลง จากการใช้เครื่องจักรมากกว่า 100 เครื่องภายในระยะเวลา 2 ปี ความยากของปัญหาแหละนี้คือหัวใจของขั้นตอนวิธีบางอย่างในวิทยาการเข้ารหัสลับ เช่น RSA

จำนวนที่มีความยาวเท่ากัน ใช่ว่าจะแยกตัวประกอบด้วยความยากเท่ากัน กรณีที่ยากที่สุดของปัญหาเหล่านี้ (สำหรับกลวิธีที่รู้กันในปัจจุบัน) คือจำนวนครึ่งเฉพาะ (semiprime) ซึ่งก็คือจำนวนที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 ตัว

จากทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต จำนวนเต็มบวกทุกตัวจะมีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน

ความยากและความซับซ้อน

ถ้าจำนวน b บิตเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2 ตัวที่มีขนาดใกล้เคียงกันแล้ว จะไม่มีขั้นตอนวิธีใดๆ ที่สามารถแยกตัวประกอบมันได้ภายในเวลาแบบพหุนาม (polynomial time) กล่าวคือ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ภายใน O (b^k) เมื่อ k คือค่าคงที่ค่าหนึ่ง ปัจจุบันมีขั้นตอนวิธีหลายขั้นตอนที่เร็วกว่า O ((1+ε) ^b) เมื่อ ε คือจำนวนบวก กล่าวคือ มีประสิทธิภาพเชิงเวลาแบบใต้เลขชี้กำลัง (sub-exponential)

ขั้นตอนวิธีที่มีเวลาการทำงานเชิงเส้นกำกับที่ดีที่สุดคือ การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา (general number field sieve (GNFS)) สำหรับจำนวน b บิตจะมีความซับซ้อนเป็น

$O\left(\exp \left(\left({\begin{matrix}{\frac {64}{9}}\end{matrix}}b\right)^{1 \over 3}(\log b)^{2 \over 3}\right)\right).$

สำหรับคอมพิวเตอร์ทั่วไป การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา (GNFS) คือขั้นตอนวิธีที่ดีที่สุดสำหรับจำนวนขนาดใหญ่มากๆ (เลข 100 หลักขึ้นไป) แต่สำหรับควอนตัมคอมพิวเตอร์ ปีเตอร์ ชอร์ ได้ค้นพบขั้นตอนวิธีที่สามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาแบบพหุนามในปี พ.ศ. 2537 ขั้นตอนวิธีของชอร์ใช้เวลาการทำงานเพียงแค่ O (b³) และใช้ปริภูมิ O (b) สำหรับจำนวน b บิต

เวลาการทำงานที่คาดหวัง

ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบเป็นขั้นตอนวิธีเชิงความน่าจะเป็น หรือ ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม เวลาการทำงานที่คาดหวังของมันจึงไม่เกิน $L_{n}\left[1/2,1+o(1)\right]$

ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบต่างๆ

วัตถุประสงค์เฉพาะ

เวลาการทำงานขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนที่จะแยกตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีทดลองการหาร ถูกจัดเข้าหมวดวัตถุประสงค์เฉพาะ เพราะว่าเวลาการทำงานเป็นสัดส่วนตามขนาดของตัวประกอบที่เล็กที่สุด

• การหารเชิงทดลอง
• ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด
• ขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ด

วัตถุประสงค์ทั่วไป

เวลาการทำงานขึ้นอยู่กับขนาดของจำนวนเต็มที่จะทำการแยกตัวประกอบเพียงลำพัง

• ตะแกรงกำลังสอง
• การกรองตัวเลขในขอบเขตแบบธรรมดา

ขั้นตอนวิธีที่มีชื่อเสียงอื่นๆ

• ขั้นตอนวิธีของชอร์

อ้างอิง

• โดนัลด์ คนูธ. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.5.4: Factoring into Primes, pp. 379–417.
• Richard Crandall and Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective (1st ed.). Springer. ISBN 0-387-94777-9. Chapter 5: Exponential Factoring Algorithms, pp. 191–226. Chapter 6: Subexponential Factoring Algorithms, pp. 227–284. Section 7.4: Elliptic curve method, pp. 301–313.

แหล่งข้อมูลอื่น

• A collection of links to factoring programs เก็บถาวร 2011-09-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Richard P. Brent, "Recent Progress and Prospects for Integer Factorisation Algorithms", Computing and Combinatorics", 2000, pp. 3-22. download
• Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P." Annals of Mathematics 160 (2) : 781-793 (2004). August 2005 version PDF
• [1] is a public-domain integer factorization program for Windows. It claims to handle 80-digit numbers. See also the web site for this program MIRACL เก็บถาวร 2011-09-30 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• The RSA Challenge Numbers เก็บถาวร 2006-12-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน - a factoring challenge, no longer active.
• Eric W. Weisstein, “RSA-640 Factored” MathWorld Headline News, November 8, 2005
• Qsieve, a suite of programs for integer factorization. It contains several factorization methods like Elliptic Curve Method and MPQS.
• Source code by Paolo Ardoino เก็บถาวร 2012-03-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, Three known algorithms and C source code.
• Factorization Source Code: by Paul Herman & Ami Fischman, C++ source code for many factorization algorithms including Pollard Rho & Shor's.
• a database containing factorizations, complete and incomplete, of over 80 million numbers.