ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (อังกฤษ: fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem) ในคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวน คือประโยคซึ่งกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 2³ · 3 · 17²   หรือ   1200 = 2⁴ · 3 · 5²

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

การพิสูจน์

การพิสูจน์จะประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวก ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้น จะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้น ให้จำนวนนั้นคือ n ดังนั้น n ไม่สามารถเป็น 1 ได้เพราะว่าจะขัดแย้งกับสมมติฐานข้างต้น และ n ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะจำนวนเฉพาะคือผลคูณของจำนวนเฉพาะตัวเดียว ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

n = ab

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า n แต่ n เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทผิด ดังนั้น a และ b ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ n = ab เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

ในส่วนของการพิสูจน์ว่า จำนวนทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้แบบเดียว เราจะใช้ข้อเท็จจริงว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ ถ้า p หาร a ไม่ลงตัวแล้ว p และ a จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จากเอกลักษณ์ของเบซู (Bézout's identity) จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้

px + ay = 1

คูณทั้งสองข้างด้วย b จะได้

pbx + aby = b

เนื่องจากฝั่งซ้ายมือหารด้วย p ลงตัว ดังนั้นฝั่งขวามือจึงหารด้วย p ลงตัวด้วย เป็นการพิสูจน์บทตั้ง

จากนั้น นำผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เท่ากันมา 2 ผลคูณ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะในผลคูณแรก p จะหารผลคูณแรกลงตัว และจะหารผลคูณที่สองลงตัวด้วย จากข้อเท็จจริงข้างต้น p จะต้องหารตัวประกอบในผลคูณที่สองลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น p จะต้องเท่ากับตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งของผลคูณที่สอง ดังนั้น เราจึงตัด p ออกจากทั้งสองผลคูณได้ และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอ

ดูเพิ่ม

• การแยกตัวประกอบ