ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (อังกฤษ: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน e^x เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน e^x เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=e^{x}$

กราฟของฟังก์ชัน y = e^x มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน x เสมอ แต่เมื่อ x เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน x ดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด y ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น แอนติลอการิทึม (antilogarithm)

ในบางกรณีคำว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cb^x เมื่อ b คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น e ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้

โดยทั่วไปตัวแปร x สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย

ภาพรวม

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว

ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี x โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น x/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+x/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+x/12)¹² ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+x/365)³⁶⁵ และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้

$\exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์

จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน

$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$....

จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ e^x ได้

อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)

นิยามเชิงรูปนัย

บทความหลัก: การอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (สีน้ำเงิน) และผลบวกของ n + 1 พจน์แรกของอนุกรมกำลัง (สีแดง)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

e^x อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ y ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า

$x=\int _{1}^{y}{dt \over t}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

อนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชัน; จากจุด P ใด ๆ บนเส้นโค้ง (สีน้ำเงิน) ถ้ามีเส้นสัมผัส (สีแดง) และเส้นตรงตามแนวดิ่งจากจุดสัมผัส (สีเขียว) ตามลักษณะดังรูป จะเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนฐานแกน x (สีเขียว) ที่มีความยาว 1 หน่วย ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่จุด P จึงเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยม (ค่าของฟังก์ชัน)

ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

นั่นคือ e^x เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ ce^x ซึ่ง c เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ k เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน f : R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข f ′ = kf ก็ต่อเมื่อ f(x) = ce^kx สำหรับค่าคงตัว c บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น

• ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น
• อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x
• ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ y ′ = y
• exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)

โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ

${d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a$

ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง

$\left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c},\qquad c>0$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า c ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ c < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา

นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ f(x) ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

เศษส่วนต่อเนื่องของ e^x

เศษส่วนต่อเนื่องของ e^x สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{x+6-\ddots }}}}}}}}}}}}$

เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ e^2x/y ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

$e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+{\cfrac {x^{2}}{11y+{\cfrac {x^{2}}{13y+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ x = y = 1 จะได้

$e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+{\cfrac {1}{13+\ddots }}}}}}}}}}$

ระนาบเชิงซ้อน

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน การเปลี่ยนสีจากมืดเป็นสว่างแสดงให้เห็นถึงขนาดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นไปทางขวา แถบสีในแนวราบที่ซ้ำเป็นช่วงแสดงว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเป็นคาบในส่วนจินตภาพของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า $\textstyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}$ ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน

นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ $e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}$ ส่วนแรก e^x จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม $e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)$ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้

• $e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,$
• $e^{0}=1\,$
• $e^{z}\neq 0$
• ${d \over dz}e^{z}=e^{z}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2πi และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร

$e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,$

เมื่อ a และ b เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln(z) เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้

$z^{w}=e^{w\ln z}\,$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ

$(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}$

ดูเพิ่มที่ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมเกี่ยวกับปัญหาของการผสานรวมการยกกำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง

• ตัวอย่างการลงจุดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน
• 
  z = Re(e^x+iy)
• 
  z = Im(e^x+iy)
• 

การคำนวณ a^b เมื่อทั้ง a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อน

บทความหลัก: การยกกำลัง

การยกกำลังเชิงซ้อน a^b สามารถนิยามได้จากการแปลง a เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ (e^ln(a))^b = a^b นั่นคือ

$a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\ln(r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\ln(r)+{\theta }i)b}\,$

อย่างไรก็ตาม เมื่อ b ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว

เมทริกซ์และพีชคณิตแบบบานัค

นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส (สำหรับฟังก์ชันที่เรียกว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลัง) และเป็นแนวคิดทั่วไปยิ่งขึ้นในพีชคณิตแบบบานัค B ในการกำหนดเช่นนี้ e⁰ = 1 และ e^x จะมีตัวผกผันนั่นคือ e^−x สำหรับ x ใด ๆ ใน B; ถ้า xy = yx ดังนั้น $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ แต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้ถ้า x และ y ไม่สามารถสลับที่ได้

การนิยามแบบอื่นก็นำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น e^x สามารถนิยามเป็น $\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ หรือนิยามเป็น f(1) เมื่อ f : R→B เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ f ′(t) = xf(t) โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นว่า f(0) = 1

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น (double exponential function) อาจมีความหมายหนึ่งในสองอย่างดังต่อไปนี้

• ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน
• ฟังก์ชัน $f(x)=a^{a^{x}}$ ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ a = 10 จะได้ f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 10¹⁰, f(2) = 10¹⁰⁰ = กูกอล, …, f(100) = กูกอลเพลกซ์

แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร $F(m)=2^{2^{m}}+1$ และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร $MM(p)=2^{(2^{p}-1)}-1$ เป็นต้น

ดูเพิ่ม

• e (ค่าคงตัว)
• การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
• การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
• การยกกำลัง
• เทเทรชัน

แหล่งข้อมูลอื่น

• Complex exponential function on PlanetMath
• Derivative of exponential function on PlanetMath
• Derivative of exponential function interactive graph เก็บถาวร 2016-08-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Exponential Function" จากแมทเวิลด์.
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
• Complex exponential interactive graphic