กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

ดูเพิ่มที่: วัตถุดำ, การแผ่รังสีของวัตถุดำ, กฎของพลังค์, และ การแผ่รังสีความร้อน

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (อังกฤษ: Stefan–Boltzmann law) ใช้อุณหภูมิเพื่ออธิบายถึงพลังงานที่วัตถุดำแผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่าพลังงานทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่ความยาวคลื่นทุกค่าต่อหน่วยเวลา $j^{\star }$ (หรือเรียกว่าความเปล่งรังสีของวัตถุดำ) ซึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ ของวัตถุดำ T กำลังสี่:

กราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงสัดส่วนระหว่างพลังงานทั้งหมดที่ถูกส่งออกมาจากวัตถุดำ $j^{\star }$ กับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ $T\,$ และเส้นสีฟ้าแสดงถึงพลังงานทั้งหมดตามการประมาณของวีน (Wien approximation) $j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,$

$j^{\star }=\sigma T^{4}.$

ในที่นี้ σ เป็นค่าคงตัว เรียกว่า ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จากค่าคงตัวทางฟิสิกส์ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}K^{-4}} ,$

เมื่อ k เป็นค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน h เป็นค่าคงตัวของพลังค์ และ c เป็นอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ ความแรงรังสี (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อสเตอเรเดียน) ถูกกำหนดไว้เป็น

$L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.$

วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะสภาพเปล่งรังสี (Emissivity) $\varepsilon <1$:

$j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.$

การเปล่งรังสี $j^{\star }$ มีมิติ (dimensional analysis) เป็นฟลักซ์พลังงาน (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และหน่วย SI ของมันคือจูลต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือวัตต์ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ T คือเคลวิน สภาพเปล่งรังสีของวัตถุเทาคือ $\varepsilon$ และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ $\varepsilon =1$ ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น

$\varepsilon =\varepsilon (\lambda )$.

เราสามารถหากำลังทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว $A$:

$P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.$

อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น อภิวัสดุ (metamaterial) และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน

ประวัติ

ในปี ค.ศ. 1864 จอห์น ทินดัลล์ (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกัน สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดยโยเซ็ฟ ชเต็ฟฟัน (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดัลล์ในบทความ Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ) ใน Bulletins from the sessions ของ Vienna Academy of Sciences.

ลูทวิช บ็อลทซ์มัน (ค.ศ. 1844–1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของอาดอลโฟ บาร์โตลี (Adolfo Bartoli) มาใช้ ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของแรงดันรังสี (radiation pressure) จากหลักอุณหพลศาสตร์ และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึงเครื่องจักรความร้อนที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ

กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897 กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วของแสง ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน และค่าคงตัวของพลังค์เป็นผลพวงโดยตรงของกฎของพลังค์อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900

ตามการนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562 ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน k ค่าคงตัวของพลังค์ h และอัตราเร็วของแสง c ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ

$\sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \,.$

ตัวอย่าง

อุณหภูมิของดวงอาทิตย์

ชเต็ฟฟันยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของดวงอาทิตย์ด้วยกฎของเขา เขาอนุมานจากข้อมูลของ ฌัก-หลุยส์ ซอแร (Jacques-Louis Soret; 1827–1890) ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000°C ชเต็ฟฟันสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดยบรรยากาศของโลก เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 × 3/2 = 43.5 เท่า.

ค่าของการดูดกลืนของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่ชเต็ฟฟันได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950 °C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200 K ในเมื่อ 2.57⁴ = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430 °C หรือ 5700 K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778 K) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800 °C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000 °C โกลด ปูยเย (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800 °C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้กฎของดูลง–เปอตี (Dulong–Petit law)

อุณหภูมิของดาวฤกษ์

อุณหภูมิของดาวฤกษ์ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของวัตถุดำ So:

$L=4\pi R^{2}\sigma {T_{e}}^{4}$

โดย L เป็นกำลังส่องสว่าง σ เป็นค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน R เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ T เป็นอุณหภูมิยังผล เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:

${\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{-2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}$

โดย $R_{\odot }$ เป็นรัศมีดวงอาทิตย์ $L_{\odot }$ เป็นความสว่างดวงอาทิตย์เป็นต้น

นักดาราศาสตร์สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

กฎนี้ปรากฏในอุณหพลศาสตร์ (Black hole thermodynamics) ของหลุมดำในสิ่งที่เรียกว่าการแผ่รังสีฮอว์กิง

อุณหภูมิยังผลของโลก

ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณอุณหภูมิยังผลของโลก T_⊕ ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ L_⊙ ถูกกำหนดไว้เป็น:

$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}$

พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี a₀ หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก ความรับอาบรังสี (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น

$E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}$

รัศมีของโลกเท่ากับ R_⊕ ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ $\pi R_{\oplus }^{2}$ ฟลักซ์การแผ่รังสี (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:

$\Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }:$

เพราะกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:

${\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}$

T_⊕ จึงหาได้จาก:

${\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}$

โดย T_⊙ เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ R_⊙ เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ a₀ เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6 °C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด

โลกมีอัตราส่วนสะท้อนเท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของอุณหภูมิยังผลซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.7^1/4 เท่าเหลือ 255 K (−18 °C)

อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288 K (15 °C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255 K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279 K เนื่องมาจากปรากฏการณ์เรือนกระจก

ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120 W/m² และเราได้อุณหภูมิจากกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันเท่ากับ

$T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}$

หรือ 102 °C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ

ต้นกำเนิด

การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์

ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ $T^{4}$ นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์ การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี p กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) $u$ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:

$p={\frac {u}{3}}.$

จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)

$dU=T\,dS-p\,dV,$

หลังจากหารด้วย $dV$ และตรึงค่า $T$ ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.$

สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.$

จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้

$U=uV$

โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.$

แล้วสมการนี้

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,$

เมื่อแทน $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}$ และ $p$ ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น

$u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}}.$

ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย $\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}$ สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง $u$ และ $T$ เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น

${\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},$

ซึ่งนำไปสู่ $u=AT^{4}$ โดย $A$ เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง

การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์

การอนุพัทธ์กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันด้วยกฎของพลังค์

เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย θ เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ φ เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ θ = ^π/₂.

ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:

$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.$

โดย

• $I(\nu ,T)\,$ คือปริมาณของกำลังต่อหน่วยพื้นที่ผิวต่อหน่วยมุมตัน (solid angle) ต่อหน่วยความถี่ ที่เปล่งออกมา ณ ความถี่ $\nu \,$ จากวัตถุดำที่อุณหภูมิ T.
• $h\,$ คือค่าคงตัวของพลังค์
• $c\,$ คืออัตราเร็วของแสง และ
• $k\,$ คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน

$I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega$ คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน dΩ ในช่วงความถี่ระหว่าง ν และ ν + dν.

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น

${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \,$

โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ท) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \ d\theta d\varphi }$ ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ $\nu$ จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน

${\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}$

แล้วใส่ค่า I ลงไป:

${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu$

เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้

${\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}$

และได้:

${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.$

ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน $\zeta (s)$ ค่าของปริพันธ์เท่ากับ $6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}$ ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:

$j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$

สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ

ความหนาแน่นของพลังงาน

เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม U ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว c เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน U:

$U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,$

ดังนั้น $\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta$ ถูกแทนที่ด้วย $\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta$, ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4.

ดังนั้น จากทั้งหมดได้:

$U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}$

ดูเพิ่ม

• กฎการกระจัดของวีน (Wien's displacement law)
• กฎของเรย์ลี-จีนส์ (Rayleigh–Jeans law)
• ความแรงรังสี (Radiance)
• วัตถุดำ
• สมการของซาคูมะ-ฮัตโตริ (Sakuma–Hattori equation)

บรรณานุกรม

• Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relationship between heat radiation and temperature] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (ภาษาเยอรมัน), 79: 391–428
• Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light], Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน), 258 (6): 291–294, Bibcode:1884AnP...258..291B, doi:10.1002/andp.18842580616