สเตอเรเดียน
สเตอเรเดียน (อังกฤษ: steradian) คือหน่วยวัดมุมในวัตถุทรงตันชนิดหนึ่ง ใช้อธิบายขนาดของการวาดมุมแบบสองมิติ บนปริภูมิสามมิติ ในแนวความคิดเดียวกับการวัดมุมบนระนาบสองมิติของเรเดียน ชื่อของ สเตอเรเดียน มาจากภาษากรีก stereos แปลว่า ตัน สเตอเรเดียนยังเป็นหน่วยอนุพัทธ์เอสไอ และใช้สัญลักษณ์ "sr"
สเตอเรเดียนนั้นเป็นหน่วยที่ไร้มิติ เช่น 1 sr = m2·m-2 = 1 แต่ก็ควรใส่หน่วย "sr" ไว้เพื่อให้มีความแตกต่างจากหน่วยอนุพัทธ์ที่ไร้มิติอื่นๆ หรือไม่มีเลย ก็คือพื้นที่ของรูปที่เห็นหารด้วยพื้นที่ทั้งหมดของพื้นที่ที่เห็น
นิยาม
แก้หนึ่งสเตอเรเดียน คือ ขนาดของมุมในทรงตันที่วัดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมียาว r ที่กวาดไปบนพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้น เป็นพื้นที่เท่ากับ r2
ถ้าสมมติให้ A มีพื้นที่เท่ากับ r2 ที่อยู่บนหมวกของทรงกลมซึ่งมีพื้นที่ผิวเท่ากับ 2πrh
เราจะได้ความสัมพันธ์คือ hr = 12π ดังนั้นมุมในทรงตันของกรวยที่อยู่ภายในจะกวาดมุมออกไปเท่ากับ θ ดังนี้
ซึ่งค่ามุมนี้แสดงให้เห็นว่าจุดยอดของกรวยนั้นกางออก 2θ ≈ 1.144 rad หรือ 65.54° เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้นมีค่า 4πr2 ดังนั้นมุมในทรงตันของทรงกลมจึงมีค่า 4π ≈ 12.56637 สเตอเรเดียน และมุมในทรงตันที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ก็คือ 4π สเตอเรเดียนนั่นเอง สเตอเรเดียนสามารถเรียกอีกอย่างหนึ่งได้ว่า ตารางเรเดียน
หนึ่งสเตอเรเดียนยังมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมที่มีมุมเกิน 1 เรเดียน หรือเท่ากับพื้นที่ 14π ของพื้นที่ผิวทรงกลม หรือเท่ากับ (180π)2 ≈ 3282.80635 ตารางองศา
เราสามารถหาสูตรของมุมตัน (ในหน่วยสเตอเรเดียน) ที่เกิดจากภาคตัดขวางของรูปทรงกรวย ที่รองรับมุมเรเดียน 2θ ได้ดังนี้
จะได้
ถ้าให้มุมที่จุดยอดของกรวยเป็น θ สมการความสัมพันธ์ดังกล่าวจะเป็น
ความคล้ายคลึงกับหน่วยเรเดียน
แก้ในสองมิติ มุมเรเดียนมีความสัมพันธ์กับส่วนของเส้นโค้งที่รองรับดังนี้
- เมื่อ
- l แทนส่วนของเส้นโค้ง
- r แทนรัศมีของวงกลม
ในสามมิติ มุมตันในหน่วยสเตอเรเดียนมีความสัมพันธ์กับพื้นที่ที่รองรับดังนี้
- เมื่อ
- S แทนพื้นที่ผิว
- r แทนรัศมีของทรงกลม
พหุคูณของเอสไอ
แก้มุมสเตอเรเดียนมีค่าสูงสุดเพียงแค่ 4π ≈ 12.56637 ดังนั้นหน่วยสเตอเรเดียนจึงไม่ต้องอาศัยตัวคูณให้มากขึ้น แต่สำหรับตัวหารแล้ว เราสามารถเปรียบเทียบขนาดของพหุคูณเอสไอของสเตอเรเดียนได้ดังนี้
พหุคูณ | ชื่อ | สัญลักษณ์ | ขนาดเมื่อเทียบกับโลก |
---|---|---|---|
101 | เดคาสเตอเรเดียน | dasr | ใหญ่กว่าพื้นน้ำทั้งหมดบนโลกเล็กน้อย |
100 | สเตอเรเดียน | sr | ประมาณทวีปเอเชีย |
10−1 | เดซิสเตอเรเดียน | dsr | พื้นที่ของอาร์เจนตินารวมกับเปรู |
10−2 | เซนติสเตอเรเดียน | csr | พื้นที่ของโคลัมเบีย |
10−3 | มิลลิสเตอเรเดียน | msr | พื้นที่ของสวิตเซอร์แลนด์ |
10−6 | ไมโครสเตอเรเดียน | µsr | พื้นที่ของแซนตามอนิกา (รัฐแคลิฟอร์เนีย) |
10−9 | นาโนสเตอเรเดียน | nsr | พื้นที่ของสนามอเมริกันฟุตบอล 8 สนาม |
10−12 | พิโคสเตอเรเดียน | psr | พื้นที่ของอพาร์ตเมนต์ขนาดเล็ก |
10−15 | เฟมโตสเตอเรเดียน | fsr | พื้นที่ของกระดาษ A5 |
10−18 | อัตโตสเตอเรเดียน | asr | พื้นที่ขนาด ¼ ตารางนิ้ว |
10−21 | เซปโตสเตอเรเดียน | zsr | พื้นที่หน้าตัดของสายไฟเบอร์ 32 |
10−24 | ยอกโตสเตอเรเดียน | ysr | พื้นที่ผิวของเซลล์เม็ดเลือดแดง |