พีชคณิตแบบบูล

ในคณิตศาสตร์และคณิตตรรกศาสตร์ พีชคณิตแบบบูล (หรือเรียกชื่ออื่นว่า พีชคณิตบูลเลียน หรือ แลตทิซแบบบูล) (อังกฤษ: Boolean algebra) คือโครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตามจอร์จ บูล ผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

พีชคณิตบูลีนเป็นสาขาของพีชคณิตซึ่งค่าของตัวแปรคือค่าความจริง จริงและเท็จ โดยปกติจะแสดงเป็น 1 และ 0 ตามลำดับ แต่ต่างจากพีชคณิตขั้นพื้นฐาน ที่ค่าของตัวแปรเป็นตัวเลขและการดำเนินการเฉพาะคือการบวกและการคูณ การดำเนินการหลักของพีชคณิตบูลีน (ตัวดำเนินการตรรกะ) คือ การรวม (และ) แสดงเป็น ∧ การไม่แยก (หรือ) แสดงเป็น ∨ และการปฏิเสธ (ไม่) แสดงเป็น ¬ เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายการดำเนินการเชิงตรรกะ ในลักษณะเดียวกับที่พีชคณิตขั้นพื้นฐานที่ใช้อธิบายการดำเนินการเชิงตัวเลข^[1]

พีชคณิตแบบบูล คิดค้นขึ้นโดย จอร์จ บูล (George Boole) ในหนังสือเล่มแรกของเขาเรื่อง The Mathematical Analysis of Logic (ค.ศ.1847) และมีเนื้อหาครบถ้วนมากขึ้นใน An Investigation of the Laws of Thought (ค.ศ.1854)^[2] พีชคณิตบูลีนเป็นหลักคณิตศาสตร์พื้นฐานในการพัฒนาอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล และ ใช้ประยุกต์ในการเขียนภาษาโปรแกรมสมัยใหม่ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีการใช้พีชคณิตแบบบูลในทฤษฎีเซตและสถิติศาสตร์^[3]

ประวัติ แก้

จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ตเวิร์กที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิทัล

นิยาม แก้

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ $\land$ (AND) กับ $\lor$ (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ $\lnot$ / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ $\lor$	สมบัติของ $\land$	ชื่อเรียก
$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	การเปลี่ยนหมู่
$a\lor b=b\lor a$	$a\land b=b\land a$	การสลับที่
$a\lor (a\land b)=a$	$a\land (a\lor b)=a$	absorption
$a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$	$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$	การแจกแจง
$a\lor \lnot a=1$	$a\land \lnot a=0$	ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ $\lor$	สมบัติของ $\land$	ชื่อเรียก
$a\lor a=a$	$a\land a=a$	นิจพล (idempotency)
$a\lor 0=a$	$a\land 1=a$	มีขอบเขต (boundedness)
$a\lor 1=1$	$a\land 0=0$	มีขอบเขต (boundedness)
$\lnot 0=1$	$\lnot 1=0$	0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
$\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$	$\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$	กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
$\lnot \lnot a=a$		อวัตนาการ (involution)

ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่างๆ แก้

ตัวดำเนินการของบูล

ตรรกศาสตร์	ทฤษฏีเซต	วงจรดิจิทัล
$true$	$U$ (เอกภพสัมพัทธ์)	$1$
$false$	$\emptyset$ (เซตว่าง)	$0$
$\lor$	$\cup$	$+$
$\land$	$\cap$	$\cdot$

การนำไปใช้ แก้

เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ

อ้างอิง แก้

↑ Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.
↑ Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-089-9.
↑ Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.

[givhal-1] Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.

[2] Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-089-9.

[givhal2-3] Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.

[1]

[2]

[3]