ในคณิตศาสตร์และคณิตตรรกศาสตร์ พีชคณิตแบบบูล (หรือเรียกชื่ออื่นว่า พีชคณิตบูลเลียน หรือ แลตทิซแบบบูล) (อังกฤษ: Boolean algebra) คือโครงสร้างเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการรวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต โดยชื่อพีชคณิตแบบบูลนั้นตั้งตามจอร์จ บูล ผู้พัฒนาพีชคณิตแบบนี้

พีชคณิตบูลีนเป็นสาขาของพีชคณิตซึ่งค่าของตัวแปรคือค่าความจริง จริงและเท็จ โดยปกติจะแสดงเป็น 1 และ 0 ตามลำดับ แต่ต่างจากพีชคณิตขั้นพื้นฐาน ที่ค่าของตัวแปรเป็นตัวเลขและการดำเนินการเฉพาะคือการบวกและการคูณ การดำเนินการหลักของพีชคณิตบูลีน (ตัวดำเนินการตรรกะ) คือ การรวม (และ) แสดงเป็น ∧ การไม่แยก (หรือ) แสดงเป็น ∨ และการปฏิเสธ (ไม่) แสดงเป็น ¬ เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายการดำเนินการเชิงตรรกะ ในลักษณะเดียวกับที่พีชคณิตขั้นพื้นฐานที่ใช้อธิบายการดำเนินการเชิงตัวเลข[1]

พีชคณิตแบบบูล คิดค้นขึ้นโดย จอร์จ บูล (George Boole) ในหนังสือเล่มแรกของเขาเรื่อง The Mathematical Analysis of Logic (ค.ศ.1847) และมีเนื้อหาครบถ้วนมากขึ้นใน An Investigation of the Laws of Thought (ค.ศ.1854)[2] พีชคณิตบูลีนเป็นหลักคณิตศาสตร์พื้นฐานในการพัฒนาอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล และ ใช้ประยุกต์ในการเขียนภาษาโปรแกรมสมัยใหม่ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีการใช้พีชคณิตแบบบูลในทฤษฎีเซตและสถิติศาสตร์[3]

ประวัติ

แก้

จอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอน นักวิทยาศาสตร์แห่งห้องทดลองเบลล์ (Bell Laboratory) ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยนำมาใช้ในการวิเคราะห์วงจรเน็ตเวิร์กที่ทำงานต่อกันหลาย ๆ ภาค เช่น วงจรของโทรศัพท์ เป็นต้น เมื่อมีการพัฒนาวงจร คอมพิวเตอร์ขึ้นก็ได้มีการนำเอาพีชคณิตบูลีนมาใช้ในการคำนวณ ออกแบบ และอธิบายสภาวะการทำงานของสถานะวงจรภายในระบบคอมพิวเตอร์ โดยพีชคณิตบูลีนเป็นพื้นฐานสำคัญในการออกแบบวงจรตรรกของระบบดิจิทัล

นิยาม

แก้

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ   (AND) กับ   (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ   / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ   สมบัติของ   ชื่อเรียก
    การเปลี่ยนหมู่
    การสลับที่
    absorption
    การแจกแจง
    ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ   สมบัติของ   ชื่อเรียก
    นิจพล (idempotency)
    มีขอบเขต (boundedness)
   
    0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
    กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
  อวัตนาการ (involution)

ตัวดำเนินการของบูลในรูปแบบต่างๆ

แก้
 
ตัวดำเนินการของบูล
ตรรกศาสตร์ ทฤษฏีเซต วงจรดิจิทัล
    (เอกภพสัมพัทธ์)  
    (เซตว่าง)  
     
     

การนำไปใช้

แก้
  • เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
  • พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ

อ้างอิง

แก้
  1. Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.
  2. Boole, George (2003) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-089-9.
  3. Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2.