คณิตตรรกศาสตร์

สาขาย่อยของคณิตศาสตร์

คณิตตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: mathematical logic) คือสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบรูปนัย บทพิสูจน์ในระบบรูปนัย ตลอดจนความสามารถในการพิสูจน์ของระบบรูปนัย[1] อาจถือได้ว่าคณิตตรรกศาสตร์ศึกษาวิธีการให้เหตุผลของนักคณิตศาสตร์[2] คณิตตรรกศาสตร์มีความสัมพันธ์กันอย่างมากกับรากฐานของคณิตศาสตร์

ประวัติแก้ไข

ดูบทความหลักที่: ประวัติของตรรกศาสตร์

ทฤษฎีของตรรกศาสตร์ปรากฏขึ้นในหลายวัฒนธรรมทั่วโลก เช่นในอินเดีย จีน กรีกโบราณและโลกอิสลาม ตรรกศาสตร์ที่ปรากฏในวัฒนธรรมกรีก โดยเฉพาะตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลแบบที่ปรากฏในงาน Organon ถูกใช้แพร่หลายในโลกตะวันตก

ในช่วงศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ที่สนในปรัชญา เช่นไลบ์นิซ และแลมเบิร์ต มีความพยายามศึกษาตรรกศาสตร์ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ หรือในเชิงพีชคณิต แต่งานที่พวกเขาทำนั้นไม่เป็นที่แพร่หลายเท่าใดนัก จนกระทั่งจอร์จ บูลและตามด้วยออกัสตัส เดอ มอร์แกน ในช่วงกลางของคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้นำเสนอตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลผ่านรูปแบบเชิงพีชคณิต[1] จุดนี้ก่อให้เกิดการพัฒนาเครื่องมือ ที่สามารถใช้เพื่อศึกษามโนทัศน์พื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้ คงจะไม่ถูกนักถ้าจะกล่าวว่าการโต้แย้งเชิงรากฐานที่มีขึ้นในช่วง ค.ศ. 1900 - 1925 ได้พบกับคำตอบที่น่าพอใจแล้ว แต่อย่างไรก็ตามตรรกศาสตร์ 'แนวใหม่' นี้ก็ได้ช่วยให้ความกระจ่างในด้านของปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่ง

ในขณะที่พัฒนาการตามแนวทางดั่งเดิมของตรรกศาสตร์ (ดูรายการบทความด้านตรรกศาสตร์) นั้น ให้ความสำคัญอย่างสูงกับ รูปแบบของการให้เหตุผล มุมมองของคณิตตรรกศาสตร์ในปัจจุบันกลับสามารถกล่าวได้ว่าเป็น การศึกษาเชิงการจัดกลุ่มของเนื้อหา (the combinatorial study of content) ซึ่งครอบคลุมถึงส่วนที่เป็น เชิงสังเคราะห์ (เช่น การส่งข้อความจากภาษาเชิงรูปนัยไปยังคอมไพเลอร์เพื่อเปลี่ยนเป็นภาษาเครื่อง) และส่วนที่เป็น เชิงความหมาย (การสร้างโมเดล หรือเซตของโมเดลทั้งหมดในทฤษฎีโมเดล)

ผลงานตีพิมพ์สำคัญคือ Begriffsschrift ของ แฟรเก และ Principia Mathematica ของเบอร์ทรันด์ รัซเซลล์

หัวข้อในคณิตตรรกศาสตร์แก้ไข

คณิตตรรกศาสตร์อาจะแบ่งได้เป็น 4 สาขาหลัก ๆ ดังนี้:[3]

  1. ทฤษฎีเซต
  2. ทฤษฎีโมเดล
  3. ทฤษฎีการเวียนเกิด
  4. ทฤษฏีการพิสูจน์และคณิตศาสตร์เชิงการสร้าง

ผลงานรากฐานแก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. 1.0 1.1 "Mathematical logic - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
  2. Shoenfield, Joseph R. (1967). Mathematical logic. Natick, Mass.: Association for Symbolic Logic. p. 1. ISBN 1-56881-135-7. OCLC 45316911.
  3. Handbook of mathematical logic. Jon Barwise, H. Jerome Keisler. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. 1977. ISBN 0-7204-2285-X. OCLC 2347202.CS1 maint: others (link)