ทฤษฎีเซต คือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับเรื่องเซต ซึ่งใช้นำเสนอการรวบรวมวัตถุนามธรรม ทฤษฎีเซตเป็นแนวความคิดของการรวบรวมวัตถุในชีวิตประจำวัน และใช้สอนในโรงเรียนประถมศึกษาซึ่งบ่อยครั้งใช้แผนภาพเวนน์เป็นสื่อช่วยสอน ทฤษฎีเซตใช้ภาษาในการอธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นธรรมเนียมการสอนคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทฤษฎีเซตเป็นหนึ่งในรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไป เหมือนเช่นตรรกศาสตร์และแคลคูลัสภาคแสดง ซึ่งทำให้สามารถสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่โดยใช้ "เซต" และ "ความเป็นสมาชิกของเซต" เป็นตัวนิยาม ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และยังคงเป็นสาขาที่สำคัญอยู่สำหรับการวิจัย

แผนภาพเวนน์แสดงอินเตอร์เซกชันระหว่างเซตสองเซต

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์แก้ไข

ทฤษฎีเซตในระดับพื้นฐานเป็นทฤษฎีที่ไม่ซับซ้อน และเป็นไปตามสามัญสำนึกของเราว่า เราสามารถสร้างเซตที่สมาชิกของเซตนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขใด ๆ ที่กำหนดขึ้นมาได้ แต่การศึกษาทฤษฎีเซตขั้นสูงพบว่า ข้อสมมตินี้ทำให้เกิดปฏิทรรศน์ในทฤษฎีเซต โดยปฏิทรรศน์ที่ทำให้เกิดปัญหามากและเป็นที่รู้จักคือ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ปฏิทรรศน์บูราลี-ฟอร์ติ และ ปฏิทรรศน์ของริชาร์ด จึงทำให้นักคณิตศาสตร์พยายามกำจัดปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้นโดยกำหนดสัจพจน์เป็นกฎเกณฑ์ว่าเซตแบบใดจึงจะสร้างขึ้นหรือมีอยู่ได้ เรียกว่า ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์[1]

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ที่นิยมศึกษากันมากที่สุดคือทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล (Zermelo–Fraenkel set theory) ซึ่งเรียกโดยย่อว่า ZF นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีเซตที่เป็นส่วนย่อยของ ZF ได้แก่

นักคณิตศาสตร์จำนวนมากนิยมทำงานกับทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล โดยมี สัจพจน์การเลือก (Axiom of Choice) เพิ่มเข้ามา จึงเรียกทฤษฎีเซตนั้นว่า ZFC

ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิลเป็นการขยายทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมสัจพจน์การเลือกอย่างอนุรักษ์ โดยเพิ่มคลาสเข้ามาในทฤษฎี[2]


อ้างอิงแก้ไข

  1. Enderton, Herbert B. Elements of set theory. New York. p. 11. ISBN 9780122384400.
  2. Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic (4th ed.). London: Chapman & Hall. p. 225-240. ISBN 0412808307.

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข