เซต (คณิตศาสตร์)
ในทางคณิตศาสตร์ เซต (อังกฤษ: set) เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสิ่งต่าง ๆ[1][2][3] ซึ่งเรียกว่า สมาชิก สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ[4] เราสามารถดำเนินการกับเซตได้ เช่น ยูเนียนของเซตสองเซตเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซตเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น
เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม[5] ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา[4]
ต้นกำเนิดของเซต
แก้แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19[6] แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (Menge) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ Paradoxien des Unendlichen (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)[7][8][9]
ในส่วนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้[10]
โดย "เซต" เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใด ๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า "สมาชิก" ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา
— เกออร์ก คันทอร์
ทฤษฎีเซตอย่างง่าย
แก้แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต A และ B จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า extensionality[11] นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้
แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น
- ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซตที่ไม่บรรจุตัวมันเอง จะมีไม่ได้
- ปฏิทรรศน์ของคันทอร์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซต จะมีไม่ได้
ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป
ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
แก้เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)[6]
การเขียนอธิบายเซต
แก้บทความนี้อาจต้องการตรวจสอบต้นฉบับ ในด้านไวยากรณ์ รูปแบบการเขียน การเรียบเรียง คุณภาพ หรือการสะกด คุณสามารถช่วยพัฒนาบทความได้ |
ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น A, B, C[12] นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า คอลเลกชัน วงศ์ หรือ แฟมิลี แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต
การเขียนระบุสมาชิก
แก้วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น
- A เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก
- B เป็นเซตของสีของธงชาติฝรั่งเศส
การแจกแจงสมาชิก
แก้วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:
- C = {4, 2, 1, 3}
- D = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}
ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A = C และ B = D
ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น
- {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}
เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง
สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:
- {1, 2, 3, ..., 1000}
ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }
การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต
แก้เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น
- E = {x | x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}
เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง “โดยที่” และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง “เซตของ x ทั้งหมดโดยที่ x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่” ดังนั้น E คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น
เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต F ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:
- F = {n² - 4 : n เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19}
ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357
คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต
แก้- เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
- เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
- เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
- เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
- เซตของจำนวนบางชนิด เช่น = เซตของจำนวนนับ, = เซตของจำนวนเต็ม, = เซตของจำนวนตรรกยะ, = เซตของจำนวนจริง, = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
- สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
- เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)
การดำเนินการของเซต
แก้- ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
- อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
- ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
- คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A
การนับจำนวนสมาชิกของเซต
แก้- ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A
สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
แก้สมบัติของเซตที่ควรทราบ
แก้ให้ A, B, C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง
- กฎการสลับที่
- กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
- กฎการแจกแจง
- กฎการเอกลักษณ์
หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก
แก้หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น
และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า
อ้างอิง
แก้- ↑ พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554
- ↑ Goldberg, Samuel (1986). Probability : an introduction. New York: Dover Publications. p. 2. ISBN 0-486-65252-1. OCLC 14356858.
- ↑ Goldrei 1996, p. 3.
- ↑ 4.0 4.1 Halmos 1960, p. 1.
- ↑ Bagaria, Joan (2021), Zalta, Edward N. (บ.ก.), "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, สืบค้นเมื่อ 2022-01-03
- ↑ 6.0 6.1 Ferreirós Domínguez, José. (2007). Labyrinth of thought : a history of set theory and its role in modern mathematics (2nd rev. ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8350-3. OCLC 302342325.
{{cite book}}
: CS1 maint: date and year (ลิงก์) - ↑ Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
- ↑ William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. p. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
- ↑ Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. p. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
- ↑ Quoted in Dauben, p. 170.
- ↑ Halmos 1960, p. 2.
- ↑ Halmos 1960, p. 1.
บรรณานุกรม
แก้- Dauben, Joseph W. (1990). Georg Cantor : his mathematics and philosophy of the infinite. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-02447-2. OCLC 21560032.
- Goldrei, Derek (1996). Classic set theory : a guided independent study (1st ed.). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-60610-0. OCLC 35850068.
{{cite book}}
: CS1 maint: date and year (ลิงก์) - Halmos, Paul R. (1974). Naive set theory. New York. ISBN 0-387-90092-6. OCLC 947951.