ฉบับร่าง:พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

สำหรับโครงสร้างทางพีขคณิตทั่วไป ดูที่ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด สำหรับการใช้งานอื่น ๆ ดูที่ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (แก้ความกำกวม)

ระวังสับสนกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric algebra: GA) (และรู้จักในชื่อพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ

แฮร์มัน กรัสมันได้อธีบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากเขาสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกซึ่งคล้าย ๆ กัน ในปีค.ศ.1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ

สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ $V$ และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ

ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ(และที่ไม่พบบ่อยพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนสและคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์ ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์

นิยามและสัญกรณ์

มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล

ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด $V$ บนฟีลด์ $F$ ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (การคูณภายใน ต.ย. ยูคลิเดียนหรือลอเรนต์เซียนเมตริก) $g:V\times V\to F$ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิกำลังสอง $(V,g)$ นั้นเป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด $\operatorname {Cl} (V,g)$ สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็นพีชคณิตผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้พีชคณิตนามธรรม

นิยาม — พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่เอกลักษณ์ $\operatorname {Cl} (V,g)$ ที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ปรกคิ $g:V\times V\to F$ เป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดของปริภูมิกำลังสอง $(V,g)$ ถ้า

• มี $F$ และ $V$ เป็นปริภูมิย่อยแยกกัน
• $a^{2}=g(a,a)1$ สำหรับ $a\in V$
• $V$ ก่อกำเนิด $\operatorname {Cl} (V,g)$ เป็นพีชคณิต
• $\operatorname {Cl} (V,g)$ ไม่ได้ถูกก่อกำเนิดโดยปริภูมิย่อยแท้ของ $V$

เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขหล่าวนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว

สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่ $F=\mathbb {R}$ สัญกรณ์ ${\mathcal {G}}(p,q)$ (${\mathcal {G}}(p,q,r)$ ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่ $g$ มีซิกเนเจอร์เป็น $(p,q)$ ($(p,q,r)$ ตามลำดับ)

ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่าผลคูณเชิงเรขาตณิต และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่าผลคูณลิ่ม) โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์ $\wedge$ ตามลำดับ

นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่ สำหรับมัลติเวกเตอร์ $A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)$:

• $AB\in {\mathcal {G}}(p,q)$ (สมบัติการปิด)
• $1A=A1=A$ เมื่อ $1$ เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์)
• $A(BC)=(AB)C$ (สมบัติการเปลี่ยนหมู่)
• $A(B+C)=AB+AC$ และ $(B+C)A=BA+CA$ (สมบัติการแจกแจง)
• $a^{2}=g(a,a)1$ สำหรับ $a\in V$

ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย $a\wedge a=0$ สำหรับ $a\in V$

สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง $g(a,a)$ ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า $g$ ไม่เป็นบวกแน่นอน สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ สำหรับเวกเตอร์ $a$ ถ้า $a^{2}\neq 0$ แล้ว $a^{-1}$ มีเท่ากับ $g(a,a)^{-1}a$ สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ ตัวอย่างเช่น ถ้า $u$ เป็นเวกเตอร์ใน $V$ เมื่อ ${\textstyle u^{2}=1}$ แล้วสมาชิก ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$ จะเป็นทั้งสมาชิกนิจพลไม่ชัดและตัวหารของศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน

โดยปกติจะระบุ $\mathbb {R}$ และ $V$ กับเรนจ์ภายใต้การซ้อนธรรมชาติ $\mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)$ และ$V\to {\mathcal {G}}(p,q)$ ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ โดยตลอด คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ $\mathbb {R}$ และ $V$ ตามลำดับ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

ผลคูณเชิงเรขาคณิต

บทความหลัก: รูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร และ พีชคณิตภายนอก

ให้เวกเตอร์สองตัว $a$ และ $b$ ถ้าผลคูณเชิงเรขาคณิต $ab$ ต่อต้านการสลับที่ จะตั้งฉาก (บน) เพราะ $a\cdot b=0$ ถ้าสลับที่ได้ จะขนาน (ล่าง) เพราะ $a\wedge b=0$.

สำหรับเวกเตอร์ $a$ และ $b$ เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตของสองเวกเดอร์ใด ๆ $a$ และ $b$ เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร

$ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)$

จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น

$a\cdot b:=g(a,b)$

ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น${\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b$

ในทางกลับกัน $g$ ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้ ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของพีชคณิตภายนอกที่อยู่ภายใน

$a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)$

ทิศทางได้รับการกำหนดนิยามโดยเซตอันดับของเวกเตอร์

ทิศทางตรงกันข้ามสมนัยกันกับการนิเสธผลคูณภายนอก

ความหมายทางเรขาคณิตของสมาชิกเกรด-$n$ ในพีชคณิตภายนอกจริงสำหรับ $n=0$ (จุดมีเครื่องหมาย), $1$ (ส่วนของเส้นตรงระบุทิศทาง หรือเวกเตอร์), $2$ (สมาชิกระนาบระบุทิศทาง) $3$ (ปริมาตรระบุทิศทาง) ผลคูณภายนอกของ $n$ สามารถนึกภาพเวกเตอร์เป็นรูปทรง $n$-มิติใด ๆ ก็ได้่ เช่น $n$-ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน, $n$-ทรงรี) ที่มีขนาด (ปริมาตรเกิน) และทิศทางกำหนดนิยามโดยที่บนขอบของ $n$-มิติและบนข้างที่ภายในอยู่

แล้วโดยการบวกตรง ๆ

$ab=a\cdot b+a\wedge b$ คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต

ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์ ในทางเรขขาคณิต $a$ และ $b$ จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน $a$ และ $b$ จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือผลคูณจุดในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือพื้นที่มีเครื่องหมายที่โดนล้อมโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีด้านเป็นเวกเตอร์ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ใน $3$ มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก

ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป ถ้ารูปแบบกำลังสองลดรูปโดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้

ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์

${\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}$

เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี $\operatorname {sgn} (\sigma )$ เป็นเครื่องหมายของการสับเปลี่ยน และ $a_{i}$ เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช้สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต) เนื่องจากทุกสามชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต สิ่งที่ตามมาคือผลคูณภายนอกก่อระบบพีชคณิตสลับ

เบลด เกรด และฐานหลัก

มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ $r$ เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่าเบลด และมีเกรด $r$ มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด $r$ เรียกว่ามัลติเวกเตอร์(เอกพันธุ์)เกรด $r$ จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์

การฉาย และรีเจกชัน

สำหรับเวกเตอร์ $a$ ใด ๆ และเวกเตอร์ $m$ ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้

ในปริภูมิ 3 มิติ ไบเวกเตอร์ $a\land b$ นิยามปริภูมิย่อยระนาบ 2 มิติ (สีน้ำเงินอ่อน ขยายไปอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางที่บ่งชี้). เวกเตอร์ $c$ ใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติสามารถแตกเป็นภาพฉาย $c_{\Vert }$ บนระนาบและรีเจกชัน $c_{\perp }$จากระนาบนี้

$a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m}$

เมื่อภาพฉายของ $a$ บน $m$ (หรือส่วนขนาน) คือ

$a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}$

และฺรีเจกชันของ $a$ จาก $m$ (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ

$a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}$

ใช้แนวคิดว่า $k$-เบลด $B$ เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ $V$ และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน $k$-เบลด $B$ ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น

${\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1}$

และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น

${\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A)$

การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์ $B$ โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน $B^{-1}$ ด้วยตัวผกผันเทียม $B^{+}$เทียบกับผลคูณย่อ ผลลัพท์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์ สำหรับเบลดศูนย์ $B$ นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี $B$ เป็นตัวแทน

การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป $A$ การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่ $B$ และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ $B$ ที่ไม่ใช่เบลดได้

การสะท้อน

การสะท้อนอย่างง่ายในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของการหมุนและการหมุนไม่ตรงแบบทั่วไป

การสะท้อนของเวกเตอร์ $c$ ตามเวกเตอร์ $m$ มีแค่เวกเตอร์ประกอบของ $c$ ที่ขนานกับ $m$ จะติดลบ

ภาพสะท้อน ${\textstyle c'}$ ของเวกเตอร์ ${\textstyle c}$ ตามเวกเตอร์ $m$ หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ $m$ ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น $c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}$

การหมุน

โรเตอร์ที่หมุนเวกเตอร์ในระนาบหมุนเวกเตอร์ผ่านมุม $\theta$ นั่นคือ $x\mapsto R_{\theta }x{\tilde {R}}_{\theta }$ เป็นการหมุนของ $x$ ผ่านมุม $\theta$ มุมระหว่าง $u$ และ $v$ คือ $\theta$ การตีความที่คล้ายกันก็สมเหตุสมผลกันกับมัลติเวกเตอร์ $X$ ทั่วไป แทนเวกเตอร์ $x$

ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์ $R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}$ แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น

${\tilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}$

ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า $R=ab$ เราจะได้

$R{\tilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\tilde {R}}R$

ปรับขนาด $R$ เพื่อที่ $R{\tilde {R}}=1$ แล้ว

$(Rv{\tilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\tilde {R}}=v^{2}R{\tilde {R}}=v^{2}$

ดังนั้น $Rv{\tilde {R}}$ ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ $v$ ยังสามารถแสดงได้ว่า

$(Rv_{1}{\tilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\tilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}$

ดังนั้นการแปลง $Rv{\tilde {R}}$ ทำให้ทั้งขนาดและมุม(ระหว่างเวกเตอร์)คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก $R$ ว่าโรเตอร์ ถ้าเป็นการหมุนแท้ (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่าเวอร์เซอร์

มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป $R=e^{-B\theta /2}$ ที่ก่อให้เกิดการหมุน $\theta$ ในระนาบและทิศทา่งกำหนดโดย$2$-เบลด $B$

โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ$n$-มิติ

ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้

ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์

สำหรับเวกเตอร์ $a$ และ $b$ ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้

$a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b$

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต

บทความหลัก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์

โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้ทฤษฎีบทของกรีนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง

$\int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f$

จึงสามารถกล่าวได้ว่า

$\nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f$

เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับทฤษฎีบทของสโตรกส์อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)

ใน 1 มิติ เมื่อ $A$ เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น $a$ และ $b$ แล้ว

$\int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f$

จะย่อลงเป็น

$\int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)$

หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์

และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของแมนิโฟลด์เวกเตอร์และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต(ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

ดูเพิ่ม

• เปรียบเทียบระหว่างพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเรขาคณิต
• พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด
• พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี
• พีชคณิตกาลา่กาศ
• สปิเนอร์
• ควอเทอร์เนียน
• พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ
• พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสากล

แหล่งอ้างอิงและอ่านเพิ่มเติม

Arranged chronologically

• Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand, OCLC 20521674
• Clifford, Professor (1878), "Applications of Grassmann's Extensive Algebra", American Journal of Mathematics, 1 (4): 350–358, doi:10.2307/2369379, JSTOR 2369379
• Artin, Emil (1988) [1957], Geometric algebra, Wiley Classics Library, Wiley, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 978-0-471-60839-4, MR 1009557
• Hestenes, David (1966), Space–time Algebra, Gordon and Breach, ISBN 978-0-677-01390-9, OCLC 996371
• Wheeler, J. A.; Misner, C.; Thorne, K. S. (1973), Gravitation, W.H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Bourbaki, Nicolas (1980), "Ch. 9 "Algèbres de Clifford"", Eléments de Mathématique. Algèbre, Hermann, ISBN 9782225655166
• Hestenes, David; Sobczyk, Garret (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus, a Unified Language for Mathematics and Physics, Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1673-6
• Hestenes, David (1986), "A Unified Language for Mathematics and Physics", ใน J.S.R. Chisholm; A.K. Commons (บ.ก.), Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics, NATO ASI Series (Series C), vol. 183, Springer, pp. 1–23, doi:10.1007/978-94-009-4728-3_1, ISBN 978-94-009-4728-3
• Wilmot, G.P. (1988a), The Structure of Clifford algebra. Journal of Mathematical Physics, vol. 29, pp. 2338–2345
• Wilmot, G.P. (1988b), "Clifford algebra and the Pfaffian expansion", Journal of Mathematical Physics, 29: 2346–2350, doi:10.1063/1.528118
• Chevalley, Claude (1991), The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras, Collected Works, vol. 2, Springer, ISBN 3-540-57063-2
• Doran, Chris J. L. (1994), Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics (PhD thesis), University of Cambridge, doi:10.17863/CAM.16148, hdl:1810/251691, OCLC 53604228
• Baylis, W. E., บ.ก. (2011) [1996], Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhäuser, ISBN 9781461241058
• Aragón, G.; Aragón, J.L.; Rodríguez, M.A. (1997), "Clifford Algebras and Geometric Algebra", Advances in Applied Clifford Algebras, 7 (2): 91–102, doi:10.1007/BF03041220, S2CID 120860757
• Hestenes, David (1999), New Foundations for Classical Mechanics (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-5302-7
• Lasenby, Joan; Lasenby, Anthony N.; Doran, Chris J. L. (2000), "A Unified Mathematical Language for Physics and Engineering in the 21st Century" (PDF), Philosophical Transactions of the Royal Society A, 358 (1765): 21–39, Bibcode:2000RSPTA.358...21L, doi:10.1098/rsta.2000.0517, S2CID 91884543, เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2015-03-19
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7
• Baylis, W. E. (2002), Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4025-5
• Dorst, Leo (2002), "The Inner Products of Geometric Algebra", ใน Dorst, L.; Doran, C.; Lasenby, J. (บ.ก.), Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering, Birkhäuser, pp. 35–46, doi:10.1007/978-1-4612-0089-5_2, ISBN 978-1-4612-0089-5
• Doran, Chris J. L.; Lasenby, Anthony N. (2003), Geometric Algebra for Physicists (PDF), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9, เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-01-06
• Hestenes, David (2003), "Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics" (PDF), Am. J. Phys., 71 (2): 104–121, Bibcode:2003AmJPh..71..104H, CiteSeerX 10.1.1.649.7506, doi:10.1119/1.1522700, เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2010-06-17
• Hildenbrand, Dietmar; Fontijne, Daniel; Perwass, Christian; Dorst, Leo (2004), "Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics" (PDF), Proceedings of Eurographics 2004, doi:10.2312/egt.20041032, เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2015-09-06
• Lasenby, Anthony (2004), "Conformal Models of de Sitter Space, Initial Conditions for Inflation and the CMB", AIP Conference Proceedings, vol. 736, pp. 53–70, arXiv:astro-ph/0411579, doi:10.1063/1.1835174, S2CID 18034896
• Hestenes, David (2005), Introduction to Primer for Geometric Algebra
• Selig, J.M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics. Monographs in Computer Science (ภาษาอังกฤษ). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/b138859. ISBN 978-0-387-20874-9.
• Bain, J. (2006), "Spacetime structuralism: §5 Manifolds vs. geometric algebra", ใน Dennis Dieks (บ.ก.), The ontology of spacetime, Elsevier, p. 54 ff, ISBN 978-0-444-52768-4
• Dorst, Leo; Fontijne, Daniel; Mann, Stephen (2007), Geometric algebra for computer science: an object-oriented approach to geometry, Elsevier, ISBN 978-0-12-369465-2, OCLC 132691969
• Penrose, Roger (2007), The Road to Reality, Vintage books, ISBN 978-0-679-77631-4
• Francis, Matthew R.; Kosowsky, Arthur (2008), "The Construction of Spinors in Geometric Algebra", Annals of Physics, 317 (2): 383–409, arXiv:math-ph/0403040v2, Bibcode:2005AnPhy.317..383F, doi:10.1016/j.aop.2004.11.008, S2CID 119632876
• Li, Hongbo (2008), Invariant Algebras and Geometric Reasoning, World Scientific, ISBN 9789812770110. Chapter 1 as PDF
• Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5
• Lundholm, Douglas; Svensson, Lars (2009), "Clifford Algebra, Geometric Algebra and Applications", arXiv:0907.5356v1 [math-ph]
• Perwass, Christian (2009), Geometric Algebra with Applications in Engineering, Geometry and Computing, vol. 4, Bibcode:2009gaae.book.....P, doi:10.1007/978-3-540-89068-3, ISBN 978-3-540-89067-6
• Selig, J. M. (2000), "Clifford algebra of points, lines and planes" (PDF), Robotica, 18 (5): 545–556, doi:10.1017/S0263574799002568, S2CID 28929170
• Bayro-Corrochano, Eduardo (2010), Geometric Computing for Wavelet Transforms, Robot Vision, Learning, Control and Action, Springer Verlag, ISBN 9781848829299
• Bayro-Corrochano, E.; Scheuermann, Gerik, บ.ก. (2010), Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science, Springer, ISBN 9781849961080 Extract online at http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory
• Goldman, Ron (2010), Rethinking Quaternions: Theory and Computation, Morgan & Claypool, Part III. Rethinking Quaternions and Clifford Algebras, ISBN 978-1-60845-420-4
• Dorst, Leo.; Lasenby, Joan (2011), Guide to Geometric Algebra in Practice, Springer, ISBN 9780857298119
• Macdonald, Alan (2011), Linear and Geometric Algebra, CreateSpace, ISBN 9781453854938, OCLC 704377582
• Snygg, John (2011), A New Approach to Differential Geometry using Clifford's Geometric Algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-8282-8
• Hildenbrand, Dietmar (2012), "Foundations of Geometric Algebra computing", Numerical Analysis and Applied Mathematics Icnaam 2012: International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics, AIP Conference Proceedings, 1479 (1): 27–30, Bibcode:2012AIPC.1479...27H, doi:10.1063/1.4756054
• Sokolov, Andrey (2013), Clifford algebra and the projective model of Minkowski (Pseudo-Euclidean) spaces, arXiv:1307.4179
• Bromborsky, Alan (2014), An introduction to Geometric Algebra and Calculus (PDF), เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2019-10-15
• Klawitter, Daniel (2015), Clifford Algebras, doi:10.1007/978-3-658-07618-4, ISBN 978-3-658-07617-7
• Kanatani, Kenichi (2015), Understanding Geometric Algebra: Hamilton, Grassmann, and Clifford for Computer Vision and Graphics, CRC Press, ISBN 978-1-4822-5951-3
• Li, Hongbo; Huang, Lei; Shao, Changpeng; Dong, Lei (2015), "Three-Dimensional Projective Geometry with Geometric Algebra", arXiv:1507.06634v1 [math.MG]
• Hestenes, David (2017), "The Genesis of Geometric Algebra: A Personal Retrospective", Advances in Applied Clifford Algebras, 27: 351–379, doi:10.1007/s00006-016-0664-z, S2CID 253592888
• Dorst, Leo (2016), "3D Oriented Projective Geometry Through Versors of แม่แบบ:Tmath", Advances in Applied Clifford Algebras, 26 (4): 1137–1172, doi:10.1007/s00006-015-0625-y
• Lengyel, Eric (2016). Foundations of game engine development. Mathematics. Vol. 1. Lincoln, California: Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016), An Introduction to Clifford Algebras and Spinors, Oxford University Press, Bibcode:2016icas.book.....V, ISBN 978-0-19-878292-6
• Easter, Robert Benjamin; Hitzer, Eckhard (2017), "Double Conformal Geometric Algebra", Advances in Applied Clifford Algebras, 27 (3): 2175–2199, doi:10.1007/s00006-017-0784-0, S2CID 253600526
• Du, Juan; Goldman, Ron; Mann, Stephen (2017), "Modeling 3D Geometry in the Clifford Algebra R(4, 4)", Advances in Applied Clifford Algebras, 27 (4): 3039–3062, doi:10.1007/s00006-017-0798-7, S2CID 253587390
• Bayro-Corrochano, Eduardo (2018). Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Geometric Algebra Applications. Vol. I. Springer. ISBN 978-3-319-74830-6.
• Breuils, Stéphane (2018). Structure algorithmique pour les opérateurs d'Algèbres Géométriques et application aux surfaces quadriques (PDF) (PHD). université-paris-est. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2019-07-14.
• Lavor, Carlile; Xambó-Descamps, Sebastià; Zaplana, Isiah (2018). A Geometric Algebra Invitation to Space-Time Physics, Robotics and Molecular Geometry. Springer. pp. 1–. ISBN 978-3-319-90665-2.
• Hrdina, Jaroslav; Návrat, Aleš; Vašík, Petr (2018), "Geometric Algebra for Conics", Advances in Applied Clifford Algebras, 28 (3), doi:10.1007/s00006-018-0879-2, S2CID 125649450
• Breuils, Stéphane; Fuchs, Laurent; Hitzer, Eckhard; Nozick, Vincent; Sugimoto, Akihiro (2019), "Three-dimensional quadrics in extended conformal geometric algebras of higher dimensions from control points, implicit equations and axis alignment" (PDF), Advances in Applied Clifford Algebras, 29 (3), doi:10.1007/s00006-019-0974-z, S2CID 253597480
• Josipović, Miroslav (2019). Geometric Multiplication of Vectors: An Introduction to Geometric Algebra in Physics. Springer International Publishing;Birkhäuser. p. 256. ISBN 978-3-030-01756-9.
• Hadfield, Hugo; Lasenby, Joan (2020), "Constrained Dynamics in Conformal and Projective Geometric Algebra", Advances in Computer Graphics, Lecture Notes in Computer Science, vol. 12221, pp. 459–471, doi:10.1007/978-3-030-61864-3_39, ISBN 978-3-030-61863-6, S2CID 224820480
• Wu, Bofeng (2022), "A signature invariant geometric algebra framework for spacetime physics and its applications in relativistic dynamics of a massive particle and gyroscopic precession", Scientific Reports, 12 (1): 3981, arXiv:2111.07353, Bibcode:2022NatSR..12.3981W, doi:10.1038/s41598-022-06895-0, PMC 8901677, PMID 35256628
• Wilmot, G.P. (2023). "The Algebra Of Geometry". GitHub.