เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

สาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวาไรตีเชิงพีชคณิต และการขยายนัยทั่วไปอื่นอีก เช่น สกีม

 เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: Algebraic geometry) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

พื้นผิวตอกเกลียตติ (Togliatti surface) เป็นพื้นผิวพีชคณิตที่มีดีกรีเท่ากับห้า รูปนี้จำลองส่วนหนึ่งของโลคัสค่าจริงของพื้นผิวดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์[1]

แนวคิดพื้นฐาน แก้ไข

รากของระบบพหุนาม แก้ไข

 
ทรงกลมและวงกลมเอียง

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R3 เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R3 ทั้งหมดที่ทำให้

 

อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R3 ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

 

วาไรตีเชิงพีชคณิต แก้ไข

วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี V เหนือ Rn (หรือ Cn) เป็นเซตของจุด (x1,...,xn) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม fi (x1,...,xn) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2 วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต แก้ไข

ให้   เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์   มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย   (บางครั้งเขียน   เมื่อ   ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้   แล้ว   จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์   เหตุผลที่เราไม่พิจารณา   โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า   มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน   จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม   ที่ทำให้   สำหรับทุกจุด   ที่มีพิกัด   ใน   ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน   ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย  [2]

ให้   เป็นเซตของพหุนามใน   เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต   ของจุดทั้งหมดใน   ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน   เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

 

จะเรียกสับเซต   ใด ๆ ของ   ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก   สามารถเขียนได้ในรูป   สำหรับบางเซต  

ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต แก้ไข

เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต   ใด ๆ ของ   มา สามารถหาเซตของพหุนาม   ที่ก่อกำเนิด   (หรือก็คือ  ) ได้หรือไม่

นิยามเซต   แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี   เป็นสับเซต สัญลักษณ์   มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ  

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

  • กำหนดเซต   ใด ๆ เมื่อไรที่  
  • กำหนดเซตของพหุนาม   เมื่อไรที่  

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน   เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ   แล้วจะได้ว่า   ก็ต่อเมื่อ   เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า   เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย   ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน   และเซตเชิงพีชคณิตใน   เป็นอย่างเดียวกัน

วาไรตีสัมพรรค แก้ไข

เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ   ของ   ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล  

ประวัติ แก้ไข

คริสต์ศตวรรษที่ 20 แก้ไข

วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

อ้างอิง แก้ไข

  1. Drton, Mathias (2009). Lectures on algebraic statistics. Bernd Sturmfels, Seth Sullivant. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8905-5. OCLC 405547762.
  2. Cutkosky, Steven Dale (2018). Introduction to algebraic geometry. Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-4670-3. OCLC 1039613757.

ดูเพิ่ม แก้ไข