เซตกำลัง

(เปลี่ยนทางจาก พาวเวอร์เซต)

ตามหลักวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ , P(S), ℙ(S), (S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ [1]

สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด

เซตย่อยใดๆ ของ เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่างแก้ไข

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

  • {} (อาจเขียนแทนด้วย   เรียกเซตว่าง)
  • {x}
  • {y}
  • {z}
  • {x, y}
  • {x, z}
  • {y, z}
  • {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} [2]

สมบัติแก้ไข

ถ้า   เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก   ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ   คือ   ทำให้เกิดสัญกรณ์   สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ   ในรูปแบบ   ซึ่ง   มีค่า   หรือ   ถ้า   สมาชิกตัวที่  ของ   อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่ ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ  

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชันแก้ไข

ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ   โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ  กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2S และ   ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่   เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

  • { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
  • {x} = 100 = 4
  • {y} = 010 = 2
  • {z} = 001 = 1
  • {x, y} = 110 = 6
  • {x, z} = 101 = 5
  • {y, z} = 011 = 3
  • {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินามแก้ไข

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก   ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก   ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่   เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

  • เซตขนาด 0   เซต
  • เซตขนาด 1   เซต
  • เซตขนาด 2   เซต
  • เซตขนาด 3   เซต

อ้างอิงแก้ไข

  1. Devlin (1979) หน้า 50
  2. Puntambekar (2007), หน้า 1-2

รายชื่อหนังสืออ้างอิงแก้ไข

  • Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
  • Puntambekar, A.A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.