ทฤษฎีบททวินาม

ทฤษฎีบททวินาม (อังกฤษ: Binomial theorem) กล่าวถึงการกระจายพจน์ของ $(x+y)^{n}$สูตรนี้พัฒนาด้วยเเคลคูลัสของเซอร์ไอเเซกนิวตันซึ่งมีสูตรดังนี้

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ และ

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$

ตัวอย่างผลที่ได้จากทฤษฎีบททวินามในกรณีที่ n ≤ 5 เช่น

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,$

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,$

การพิสูจน์โดยการอุปนัย

การอุปนัยทำให้เกิดการพิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม เมื่อ n = 0 จะเท่ากับ 1 เนื่องจาก

$(x+y)^{0}=1\!$

สมมติว่าสมการมีไว้สำหรับจำนวน n ที่กำหนด ; เราจะพิสูจน์มันสำหรับจำนวน n + 1

ถ้า $[f(x,y)]_{j,k}$ แทนค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^{j}y^{k}$ ในพหุนาม $f(x,y)$

ประวัติศาสตร์

กรณีพิเศษของทฤษฎีบทเป็นที่รู้จักตั้งแต่อย่างน้อยศตวรรษที่ 4 ก่อน ค.ศ. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก กล่าวถึงกรณีพิเศษของทฤษฎีบทสำหรับเลขชี้กำลัง 2 ค่าสัมประสิทธิ์ จำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวน k รายการ จากวัตถุจำนวน n วัตถุ คือ ${\frac {n!}{(n-k)!k!}}$ ซึ่งถือเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ