ผลคูณคาร์ทีเซียน
ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต A และ B ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cartesian_Product_qtl1.svg/220px-Cartesian_Product_qtl1.svg.png)
กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือจัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลัก เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของหลัก)
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต[1] ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์
ตัวอย่าง
แก้สำรับไพ่
แก้ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ
เลขไพ่ × หน้าไพ่ ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ
หน้าไพ่ × เลขไพ่ ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}
ระบบพิกัดสองมิติ
แก้ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต X และ Y ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X × Y ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ X และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ Y (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Y × X โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต Y และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต X ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่
การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต
แก้นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ โดย เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่
การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่
แก้ให้ และ เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข [3]
- เป็นเซตว่าง
- เป็นเซตว่าง
เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ
ตัวอย่าง
- และ
- และ
ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ
- ตัวอย่าง
- และ
สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน
แก้ให้ และ เป็นเซต
การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน
แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน
มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:[3]
สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:
- ถ้า แล้ว
- ถ้าทั้ง และ ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว [5]
ภาวะเชิงการนับ
แก้ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต และ ทั้งเซต และเซต ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:
สมาชิกแต่ละตัวของ จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์ จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2 ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ
และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า
ภาวะเชิงการนับของ เป็นอนันต์ถ้าเซต หรือเซต เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง[6]
จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน
แก้จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต X คือผลคูณคาร์ทีเซียน X2 = X × X ตัวอย่างคือระนาบ R2 = R × R เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(x,y) ที่ x และ y เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)
อ้างอิง
แก้- ↑ cartesian (2014) ในพจนานุกรมออน์ไลน์ Merriam-Webster Online Dictionary เปิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2014 จาก http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian
- ↑ Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
- ↑ 3.0 3.1 Singh, S. (2009, August 27). Cartesian product. Retrieved from the Connexions Web site: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
- ↑ 4.0 4.1 CartesianProduct on PlanetMath
- ↑ Cartesian Product of Subsets. (2011, February 15). ProofWiki. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from http://www.proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868
- ↑ Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm