หลายสิ่งอันดับ

(เปลี่ยนทางจาก ทูเพิล)

หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล (อังกฤษ: tuple) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย -สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง สิ่ง (เมื่อ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์[1] และปรัชญา[2]

คุณสมบัติ

แก้

โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้  -สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ

  ก็ต่อเมื่อ  

คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้

  1. หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ   แต่เซต  
  2. อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ   แต่เซต  
  3. หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้

นิยาม

แก้

หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้

นิยามด้วยฟังก์ชัน

แก้

ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม  -สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้  -สิ่งอันดับ คือ

 

เมื่อ

 

หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น

 

นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน

แก้

ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม  -สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ  -สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง  
  2.  -สิ่งอันดับ เมื่อ   นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น  -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
     

เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า

 

ตัวอย่างเช่น

 

หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง  
  2.  -สิ่งอันดับ เมื่อ   นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น  -สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
     

เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า

 

ตัวอย่างเช่น

 

นิยามด้วยเซตซ้อน

แก้

เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ  -สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้

  1. 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง  
  2. กำหนดให้   เป็น  -สิ่งอันดับ   และกำหนดให้   จะได้ว่า   (เรียกว่า   เชื่อมกับ  )

ตัวอย่างเช่น

 

อ้างอิง

แก้
  • D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000), Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs (2nd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
  • Keith Devlin, The Joy of Sets. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
  • Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Foundations of set theory, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
  • Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
  • George J. Tourlakis, Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193