มัชฌิมเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์ มัชฌิมเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (อาจเรียกแค่ มัชฌิม หรือ ค่าเฉลี่ย) ของรายการหนึ่ง คือผลบวกตัวเลขในรายการนั้นทุกจำนวน หารด้วยจำนวนตัวเลขในรายการ รายการมักจะเป็นผลการทดลองหรือการศึกษาจากการสังเกต หรือบ่อยครั้งจะเป็นชุดของผลลัพธ์จากการสำรวจ คำว่า "มัชฌิมเลขคณิต" เป็นที่ต้องการในบางบริบทในคณิตศาตร์และสถิติเพราะมันช่วยแยกความแตกต่างจากมัชฌิมอื่นๆ เช่น มัชฌิมเรขาคณิตและ มัชฌิมฮาร์มอนิก

นอกจากจะใช้ในทางคณิตศาสตร์และสถิติศาสตร์แล้ว มีการใช้มัชฌิมเลขคณิตในสาขาวิชาต่าง ๆ ได้แก่ เศรษฐศาสตร์ มานุษยวิทยา และ ประวัติศาสตร์ ทั้งยังใช่ในสาขาวิชาอื่นๆ เกือบทั้งหมด เช่น รายได้เฉลี่ยต่อบุคคล คือ มัชฌิมเลขคณิตของรายได้ทั้งหมดต่อประชาการประทศ

ถ้ารายการของจำนวนเกี่ยวข้องกับประชากรทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยประชากร และถ้าเกี่ยวข้องกับตัวอย่างทางสถิติจะเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

และเมื่อมัชฌิมเลขคณิตมีค่าประมาณไม่เท่ากับมัธยฐาน รายการของจำนวน หรือการแจกแจงความถี่ จะเรียกว่ามีความเบ้ (skewness) ของข้อมูล

นิยาม

ถ้าเรากำหนดชุดข้อมูล $X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ขึ้นมาชุดหนึ่ง มัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนี้สามารถเขียนแทนได้ด้วยชื่อตัวแปร $X$ และมีขีดอยู่ข้างบน เช่น ${\bar {x}}$ อ่านว่า เอกซ์ บาร์

บางครั้งมีการใช้อักษรกรีก มิว ตัวเล็ก ($\mu$) แทนมัชฌิมเลขคณิตของประชากรทั้งหมด หรือสำหรับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่ได้นิยามมิชฌิมไว้แล้ว ค่าของ $\mu$ จะหมายถึงค่าคาดหมาย (expected value) ของตัวแปรสุ่มนั้น เขียนแทนได้ด้วย $\mu =\operatorname {E} \{x_{i}\}$

แต่ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่าง $\mu$ กับ ${\bar {x}}$ ไม่สามารถสังเกตเพื่อแยกแยะได้อย่างชัดเจน เพราะเราสังเกตเพียงกลุ่มตัวอย่างหนึ่งแทนที่จะเป็นประชากรทั้งหมด และเมื่อตัวอย่างนั้นเป็นการสุ่มขึ้นมา เราจึงต้องทำเหมือนว่า ${\bar {x}}$ เป็นตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่งในการอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็น แทนที่จะเป็น $\mu$ ซึ่งสัญกรณ์ทั้งสองอย่างสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรเดียวกันคือ

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$

ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 3 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก ${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}$

หรือมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูล 4 จำนวน สามารถคำนวณได้จาก ${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}$ เป็นต้น

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

มัชฌิมเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เป็นวิธีหาค่าเฉลี่ยรูปแบบหนึ่งคล้ายกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป โดยจะมีปัจจัยน้ำหนัก ($w$) ของข้อมูลแต่ละจุดเข้ามาใช้คำนวณด้วย มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร ${\bar {x}}_{w}$

หากกำหนดชุดข้อมูลขึ้นมาชุดหนึ่งคือ $((x_{1},w_{1}),(x_{2},w_{2})\dots ,(x_{n},w_{n}))$ โดย $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ คือเซ็ตข้อมูลที่เป็นตัวเลข เช่น ส่วนสูงของมนุษย์ และ $(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})$ คือน้ำหนักของข้อมูลแต่ละจุดซึ่งเป็นตัวเลข เช่น ความถี่ส่วนสูงของมนุษย์ ดังเช่นตารางต่อไปนี้

ส่วนสูง	ความถี่
$x_{1}$	$w_{1}$
$x_{2}$	$w_{2}$
$x_{3}$	$w_{3}$
...	...
$x_{n}$	$w_{n}$

จะสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของข้อมูลชุดนี้ด้วยสูตร

${\bar {x}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$

ทั้งนี้ หากกำหนดการถ่วงน้ำหนักทุกจุดให้ $w_{i}=1$ สูตรการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (${\bar {x}}_{w}$) จะกลับไปเป็นสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั่วไป (${\bar {x}}$)

ดูเพิ่ม

• มัชฌิม
• มัธยฐาน
• ฐานนิยม
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
• ความแปรปรวน