เอพิไซคลอยด์
เอพิไซคลอยด์ (อังกฤษ: epicycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นโดยกำหนดจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลมที่เรียกว่า เอพิไซเคิล (epicycle) แล้วกลิ้งรูปวงกลมนั้นไปบนขอบ ด้านนอก ของรูปวงกลมอีกรูปหนึ่งซึ่งอยู่กับที่ รอยที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุดอ้างอิงจะได้เส้นโค้งเอพิไซคลอยด์
เส้นโค้งนี้จัดว่าเป็นรูเลตต์ชนิดหนึ่ง และเป็นกรณีพิเศษของเอพิโทรคอยด์ (epitrochoid) วิวัฒน์ (evolute) และอาวัต (involute) ของเส้นโค้งนี้จะมีรูปร่างคล้ายกับเส้นโค้งเดิม [1][2]
สมการ
แก้รูปร่างของเอพิไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นเอพิไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้
หรือ
- ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายดอกไม้หรือใบบัว และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
- ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = pq ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิด
- ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R + 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)
-
k = 1 หรือ คาร์ดิออยด์ (cardioid)
-
k = 2 หรือ เนฟรอยด์ (nephroid)
-
k = 3
-
k = 4
-
k = 2.1 = 2110
-
k = 3.8 = 195
-
k = 5.5 = 112
-
k = 7.2 = 365
อ้างอิง
แก้- ↑ Epicycloid Evolute ที่ MathWorld
- ↑ Epicycloid Involute ที่ MathWorld
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 161, 168–170, 175. ISBN 0-486-60288-5.
ดูเพิ่ม
แก้- ไซคลอยด์ (cycloid)
- ไฮโพไซคลอยด์ (hypocycloid)
- โทรคอยด์ (trochoid)
- เอพิโทรคอยด์ (epitrochoid)
- ไฮโพโทรคอยด์ (hypotrochoid)