ไฮโพไซคลอยด์
ไฮโพไซคลอยด์ (อังกฤษ: hypocycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นโดยกำหนดจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลมวงหนึ่ง แล้วกลิ้งรูปวงกลมนั้นไปบนขอบ ด้านใน ของรูปวงกลมอีกรูปหนึ่งซึ่งอยู่กับที่ รอยที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุดอ้างอิงจะได้เส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์
เส้นโค้งนี้จัดว่าเป็นรูเลตต์ชนิดหนึ่ง และเป็นกรณีพิเศษของไฮโพโทรคอยด์ (epitrochoid) วิวัฒน์ (evolute) และอาวัต (involute) ของเส้นโค้งนี้จะมีรูปร่างคล้ายกับเส้นโค้งเดิม [1][2]
สมการ
แก้รูปร่างของไฮโพไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นไฮโพไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้
หรือ
- ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายฟันเฟือง และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
- โดยเฉพาะเมื่อ k = 2 รูปที่ได้จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียวเรียกว่า รูปวงกลมการ์ดาโน (Cardano circle) ซึ่งตั้งชื่อตาม เจโรลาโม การ์ดาโน (Gerolamo Cardano) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้ศึกษาไฮโพไซคลอยด์เป็นครั้งแรก
- ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = pq ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิดคล้ายรูปดาว
- ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R − 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)
อ้างอิง
แก้- ↑ Hypocycloid Evolute ที่ MathWorld
- ↑ Hypocycloid Involute ที่ MathWorld
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.
ดูเพิ่ม
แก้- ไซคลอยด์ (cycloid)
- เอพิไซคลอยด์ (epicycloid)
- โทรคอยด์ (trochoid)
- เอพิโทรคอยด์ (epitrochoid)
- ไฮโพโทรคอยด์ (hypotrochoid)