ไฮโพไซคลอยด์ (อังกฤษ: hypocycloid) คือเส้นโค้งชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นโดยกำหนดจุดจุดหนึ่งบนเส้นรอบรูปวงกลมวงหนึ่ง แล้วกลิ้งรูปวงกลมนั้นไปบนขอบ ด้านใน ของรูปวงกลมอีกรูปหนึ่งซึ่งอยู่กับที่ รอยที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุดอ้างอิงจะได้เส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์

ไฮโพไซคลอยด์ (เส้นสีแดง) ที่เกิดจากรูปวงกลม r = 1 กลิ้งไปบนขอบด้านในของรูปวงกลม R = 3

เส้นโค้งนี้จัดว่าเป็นรูเลตต์ชนิดหนึ่ง และเป็นกรณีพิเศษของไฮโพโทรคอยด์ (epitrochoid) วิวัฒน์ (evolute) และอาวัต (involute) ของเส้นโค้งนี้จะมีรูปร่างคล้ายกับเส้นโค้งเดิม [1][2]

สมการ

แก้

รูปร่างของไฮโพไซคลอยด์จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรัศมีของรูปวงกลมทั้งสอง หากรูปวงกลมที่กลิ้งมีรัศมี r หน่วย และรูปวงกลมที่อยู่กับที่มีรัศมี R = kr หน่วย ค่า k หมายถึงจำนวนเท่าของรัศมีรูปวงกลมที่อยู่กับที่ ต่อรัศมีรูปวงกลมที่กลิ้ง ดังนั้นไฮโพไซคลอยด์สามารถเขียนได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

 
 

หรือ

 
 
  • ถ้า k เป็นจำนวนเต็ม เส้นโค้งที่ได้จะเป็นรูปปิดคล้ายฟันเฟือง และมี บัพแหลม (ร่องแหลมซึ่งไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้) ทั้งหมด k แห่งบนเส้นโค้ง
  • ถ้า k เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ k = p/q ได้ เส้นโค้งนี้จะมีบัพแหลม p แห่ง และต้องกลิ้งรอบรูปวงกลม q รอบจึงจะได้รูปปิดคล้ายรูปดาว
  • ถ้า k เป็นจำนวนอตรรกยะ เส้นโค้งนี้จะวนที่ตำแหน่งใหม่ไปเรื่อยๆ และไม่มาบรรจบกันเป็นรูปปิด ทำให้เติมที่ว่างระหว่างรูปวงกลมที่อยู่กับที่ จนถึงรูปวงกลมรัศมี R − 2r จนเต็ม (เป็นรูปวงแหวนทึบ)

อ้างอิง

แก้
  1. Hypocycloid Evolute ที่ MathWorld
  2. Hypocycloid Involute ที่ MathWorld
  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

ดูเพิ่ม

แก้