เมทริกซ์แต่งเติม

เมทริกซ์แต่งเติม (อังกฤษ: augmented matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น

ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\\\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\\\end{bmatrix}}$

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

$(A|B)={\begin{bmatrix}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\\\end{bmatrix}}$

ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด

การนำไปใช้

เมทริกซ์ผกผัน

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน สามารถมีตัวผกผันได้ทุกเมทริกซ์ โดยการคำนวณผ่านเมทริกซ์แต่งเติมเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำได้ เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ C

$C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\\\end{bmatrix}}$

การหาเมทริกซ์ผกผันเริ่มจากการนำเมทริกซ์เริ่มต้น มาผนวกกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติเท่ากัน เป็นเมทริกซ์ (C|I)

$(C|I)={\begin{bmatrix}1&3&1&0\\-5&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (C|I) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ตัวผกผันของเมทริกซ์ที่ซีกขวา

$(I|C^{-1})={\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\\\end{bmatrix}},\quad C^{-1}={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\\\end{bmatrix}}$

ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์แต่งเติมมีส่วนช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สมการจะต้องมีจำนวนไม่ต่ำกว่าจำนวนตัวแปรของทั้งระบบสมการ เช่นตัวแปรมี 3 ตัว จำเป็นต้องใช้ 3 สมการ ดังตัวอย่าง

${\begin{array}{rcl}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=&0\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}&=&2\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}&=&11\\\end{array}}$

เมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายจะประกอบไปด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่อยู่ตามลำดับ ส่วนซีกขวาเป็นค่าคงตัวของสมการนั้นๆ

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\\\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\\\end{bmatrix}}$

เราจะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B)

$(A|B)={\begin{bmatrix}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\\\end{bmatrix}}$

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (A|B) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวที่ซีกขวา

$(I|X)={\begin{bmatrix}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}4\\1\\-2\\\end{bmatrix}}$

$\therefore x_{1}=4,\ x_{2}=1,\ x_{3}=-2$