ระบบสมการเชิงเส้น

ในวิชาคณิตศาสตร์ ระบบสมการเชิงเส้นเป็นหมู่สมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรชุดเดียวกัน ตัวอย่างเช่น

ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรกำหนดหมู่ระนาบ จุดส่วนร่วมคือผลเฉลย

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

เป็นระบบสามสมการที่มีสามตัวแปร x, y, z ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นเป็นการแทนค่าจำนวนในตัวแปรซึ่งทำให้สมการทั้งหมดสอดคล้องกันพร้อมกัน ผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นข้างต้น คือ

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

เพราะทำให้ทั้งสามสมการสมเหตุสมผล คำว่า "ระบบ" เป็นการชี้ว่าต้องพิจารณาสมการทั้งหมดร่วมกัน ไม่ใช่แยกกัน ค้นพบโดยต้อบ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีระบบสมการเชิงเส้นเป็นพื้นฐานและส่วนหลักมูลของพีชคณิตเชิงเส้น หัวข้อซึ่งใช้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนมาก ขั้นตอนวิธีการคณนาสำหรับการหาผลเฉลยเป็นส่วนสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นตัวเลข และมีบทบาทเด่นในวิชาวิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี วิทยาการคอมพิวเตอร์และเศรษฐศาสตรฺ ระบบสมการไม่เชิงเส้นมักประมาณโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นได้ ซึ่งเป็นเทคนิคที่ช่วยได้มากเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือการจำลองระบบที่ค่อนข้างซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์

บ่อยครั้ง สัมประสิทธิ์ของสมการเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และผลเฉลยหาได้โดยชุดจำนวนเดียวกัน แต่ทฤษฎีและขั้นตอนวิธีนี้ใช้ได้กับสัมประสิทธิ์และผลเฉลยในทุกสาขา สำหรับผลเฉลยในโดเมนปริพันธ์อย่างริงของจำนวนเต็ม หรือในโครงสร้างพีชคณิตอื่น ได้มีการพัฒนาทฤษฎีอื่นออกมา กำหนดการเชิงเส้นจำนวนเต็มเป็นการรวมวิธีสำหรับการหาผลเฉลยจำนวนเต็ม "ที่ดีที่สุด" (เมื่อมีหลายผลเฉลย)