กึ่งแกนเอก

(เปลี่ยนทางจาก Semi-major axis)

กึ่งแกนเอก (semi-major axis) เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

กึ่งแกนเอกของวงรี

วงรี

แก้

สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก   คือ กึ่งแกนโท  , ความเยื้องศูนย์กลาง   และ กึ่งเลตัสเรกตัม   เป็นดังต่อไปนี้

 

ถ้าให้จุดโฟกัสและ   คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้   และ   จะเข้าใกล้อนันต์ แต่   จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า  

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า

 

และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด   และค่าสูงสุด   จะเป็น

 

ไฮเพอร์โบลา

แก้
 
กึ่งแกนเอก (a), กึ่งแกนโท (b) และ เรตัสเรกตัม (p) ของไฮเพอร์โบลา

ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า

 

หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม   และความเยื้องศูนย์กลาง   เป็น

 

ดาราศาสตร์

แก้

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร   ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

 

ในที่นี้

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์

 

โดยที่   คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ   คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง

 

ในที่นี้

เนื่องจากโดยปกติแล้ว   จะมีค่ามากกว่า   มาก ผลกระทบจากค่า   จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง

แก้

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร   สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า

 

ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า

 

โดยที่

 

ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้

  •   เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
  •   เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
  •   เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
  •   เป็นมวลของดาวหลัก

ตัวอย่าง

แก้

สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

ดูเพิ่ม

แก้