เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา $\left(t,x,y,z\right)$

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ $4\times 4$

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

{\mathsf {x}}:=\left(x^{\mu }\right)=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)

สำหรับ $\left.\mu =0,1,2,3\right.$ เมื่อ $\left.c\right.$ เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ ${\mathsf {x}}$ กับ ${\mathsf {y}}$ ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

${\mathsf {x}}\cdot {\mathsf {y}}$	$\equiv x^{\mu }\eta _{\mu \nu }y^{\nu }=\left({\begin{matrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&x^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}y^{0}\\y^{1}\\y^{2}\\y^{3}\end{matrix}}\right)$
	$=\left.-x^{0}y^{0}+x^{1}y^{1}+x^{2}y^{2}+x^{3}y^{3}\right.$

เมื่อ $\left.\eta \right.$ เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

{\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}

เมื่อ $\left.\gamma \right.$ คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

{\mathsf {U}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {x}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma c,\gamma \mathbf {u} \right)

หรือ

\left(U^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(x^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma c,\gamma u^{i}\right)

เมื่อ

u^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}

สำหรับ $\left.i=1,2,3\right.$ สังเกตว่า

{\mathsf {U}}\cdot {\mathsf {U}}:=U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

{\mathsf {A}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {U}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {\dot {u}} \right)

หรือ

\left(A^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(U^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}u^{i}+\gamma ^{2}{\dot {u}}^{i}\right)

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ ${\mathsf {A}}\perp {\mathsf {U}}$

{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {U}}:=A^{\mu }U_{\mu }=0

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

{\mathsf {P}}:=m{\mathsf {U}}=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {u} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)

หรือ

\left(P^{\mu }\right):=m\left(U^{\mu }\right)=\left(\gamma mc,\gamma mu^{i}\right)=\left(\gamma mc,p^{i}\right)

เมื่อ $\left.m\right.$ คือมวลของอนุภาค และ $\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u}$ คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

{\mathsf {F}}:={\frac {\mathrm {d} {\mathsf {P}}}{\mathrm {d} \tau }}=m{\mathsf {A}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}mc,\gamma \mathbf {f} \right)

หรือ

\left(F^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(P^{\mu }\right)=m\left(A^{\mu }\right)=\left(\gamma {\dot {\gamma }}mc,\gamma \mathbf {f} \right)

เมื่อ

\mathbf {f} \equiv m{\dot {\gamma }}\mathbf {u} +m\gamma \mathbf {\dot {u}} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m\mathbf {u} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc²

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

{\frac {dK}{dt}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

{\mathsf {J}}:=\left(J^{\mu }\right)=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) $\mathbf {j}$ และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) $\left.\rho \right.$

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

{\mathsf {A}}:=\left(A^{\mu }\right)=\left({\frac {\varphi }{c}},\mathbf {A} \right)

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) $\mathbf {A}$ และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) $\varphi$

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

{\mathsf {N}}:=\left(N^{\mu }\right)=\left(\nu ,\nu {\hat {\mathbf {n} }}\right)

เมื่อ $\left.\nu \right.$ เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ ${\hat {\mathbf {n} }}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า