ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

(เปลี่ยนทางจาก เมเชอร์ผลคูณ)

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

แก้

กำหนด   และ   เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ   ดังนี้

  1.   คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ   และ  
  2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ:   คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี   เป็นสมาชิก โดย   และ  .
  3. เมเชอร์ผลคูณ:   นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
  เมื่อ
 

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า   มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

 

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย Ex = {yX2| (x,y) ∈E}, และ Ey = {xX1| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.