ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $(X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})$ และ $(X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})$ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2},\mu _{1}\times \mu _{2})$ ดังนี้

1. $X_{1}\times X_{2}$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ $X_{1}$ และ $X_{2}$
2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: $\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}$ คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี $A_{1}\times A_{2}$ เป็นสมาชิก โดย $A_{1}\in \Sigma _{1}$ และ $A_{2}\in \Sigma _{2}$.
3. เมเชอร์ผลคูณ: $\mu _{1}\times \mu _{2}$ นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})$ เมื่อ

$B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}.$

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า $\mu _{1}\times \mu _{2}$ มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1},$

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย E_x = {y∈X₂| (x,y) ∈E}, และ E^y = {x∈X₁| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.