ทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ
มีหลายวิธีที่จะ "จำกัดความโครงสร้าง" ของจำนวนธรรมชาติโดยใช้ทฤษฎีเซต ซึ่งรวมไปถึงวิธีการใช้ลำดับบอน นิวมันน์ ที่ใช้เป็นสัจพจน์พื้นฐานของทฤษฎีเซต หรือจะใช้ระบบซึ่งใช้ความเท่ากันทุกประการของตัวเลข (Equinumerosity) ที่เสนอโดยไฟรเกอและรัสเซลล์
จำกัดความโดยใช้ลำดับบอน นิวมันน์
แก้ทฤษฎีเซตของเซอเมโล-แฟนเคิล (ZF) จำนวนธรรมชาติถูกจำกัดความแบบเวียนเกิด โดยให้ 0 = {} แทนเซตว่าง และ n + 1 = n ∪ {n} สำหรับ n ใด ๆ เมื่อ n = {0, 1, ..., n − 1} สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ โดยรูปแบบของตัวเลขแรก ๆ จะเป็น :
ระบบเซต N ของจำนวนธรรมชาตินี้ เซตที่มีขนาดเล็กที่สุดจะมีสมาชิกเป็น 0 และจบตรงที่ฟังก์ชันถ่ายทอด (Successor Function) S เมื่อ S(n) = n ∪ {n} ส่วนโครงสร้าง ⟨N,0,S⟩ เป็นโมเดลของสัจพจน์ของเปอาโน โดยการมีอยู่ของเซต N เป็นไปตามสัจพจน์แห่งอนันต์ ในทฤษฎีเซต ZF
เซต N และสมาชิกของตัวมันเอง เมื่อกหนดโครงสร้างมาแบบนี้ ซึ่งเป็นส่วนแรกของลำดับบอน นิวมันน์
จำกัดความโดยเฟรเกอและรัสเซิลล์
แก้กอทโลพ เฟรเกอ และ เบอร์ทรันด์ รัสเซิลล์ ที่ต่างก็จำกัดความจำนวนธรรมชาติ n ให้เป็นสมาชิกของเซตด้วยสมาชิก n จำนวนธรรมชาติเป็นชั้นสมดุล (ชั้นเท่ากันทุกประการ (Equivalence Class)) ของเซตจำกัดภายใต้ความสัมพันธ์สมดุล (Equivalence Relation) ของความเท่ากันทุกประการของตัวเลข (Equinumerosity) คำจำกัดความนี้อาจจะทำให้วกวนไปมา แต่ไม่เลย เพราะความเท่ากันทุกประการของตัวเลขสามารถจำกัดความแบบย้อนได้ เช่นเดียวกับหลักของฮูม
คำจำกัดความนี้ใช้ในทฤษฎีเซตบริสุทธิ์, ทฤษฎีไทป์ และทฤษฎีเซต ที่แตกแขนงออกมาจากทฤษฎีไทป์ เช่นเดียวกับรากฐานคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ และระบบอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง แต่ใช้ไม่ได้กับสัจพจน์ทฤษฎีเซต ZFC เพราะในระบบนั้น เรื่องชั้นเท่ากันทุกประการในเรื่องความเท่ากันทุกประการของตัวเลขนั้นเป็นชั้นที่เหมาะสมกว่าเซต
วิลเลียม เอส. ฮัตเชอร์ (1982) ได้นำแนวคิดสัจพจน์ของเปอาโนมาใช้อีกจากหลาย ๆ รากฐาน รวมถึง ZFC และทฤษฎีจัดลำดับ และระบบจากหนังสือ Frege's Grundgesetze der Arithmetik และการลบโดยธรรมชาติ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ได้พิสูจน์แล้วว่าระบบนี้ไม่แน่นอน แต่จอร์จ บูลอส (1998) และเดวิด เจ. แอนเดอร์สัน และเอ็ดเวิร์ด เอ็น. ซาลตา (2004) ได้ออกมาแก้ไขช่องโหว่นี้
ดูเพิ่ม
แก้
อ้างอิง
แก้- Anderson, D. J., and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33: 1–26.
- George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic.
- Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. In this text, S refers to the Peano axioms.
- Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set เก็บถาวร 2011-04-11 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
- Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
ลิงค์อ่านเพิ่ม
แก้- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Quine's New Foundations — by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories — by Randall Holmes.
- McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers?"
- Randall Holmes: New Foundations Home Page. เก็บถาวร 2020-03-21 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน