ตรรกศาสตร์

การศึกษาการให้เหตุผลและการพิสูจน์
(เปลี่ยนทางจาก ตรรกะ)

ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic - มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) โดยทั่วไปประกอบด้วยการศึกษารูปแบบของข้อโต้แย้งอย่างเป็นระบบ ข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่มีความสัมพันธ์ของการสนับสนุนเชิงตรรกะที่เฉพาะเจาะจงระหว่างข้อสมมุติพื้นฐานของข้อโต้แย้งและข้อสรุป

ตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล

ที่มาของคำว่า ตรรกศาสตร์

แก้

คำว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน

ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า "อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน

คณิตศาสตร์

แก้

ประพจน์

แก้

คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย

  • ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ
  • ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง และประโยคอุทาน
  • ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์

แก้

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

  • “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧
  • “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨
  • “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →
  • “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔
  • “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~

ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡

คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบประพจน์

แก้

กำหนดให้ p, q และ r เป็นรูปแบบของประพจน์

  • การสะท้อน: p ≡ p
  • การสมมาตร: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ p
  • การถ่ายทอด: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ r แล้ว p ≡ r
  • p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
  • p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
  • (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
  • (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
  • p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
  • p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  • p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
  • p → q สมมูลกับ ~q → ~p
  • p ↔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

แก้

คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ

  • ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
  • ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
  • A ≡ ~B
  • ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้

  • ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
  • ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
  • ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
  • ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ↔ ~q) ∨(q ↔ ~p)
  • ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)

สัจนิรันดร์

แก้

คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)

แก้

คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

  • ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
  • ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

  • ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
  • ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
  • ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
  • ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

  • ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]
  • ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]
  • ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]
  • ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]

การอ้างเหตุผล

แก้

คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา)

สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์

 

ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

ดูเพิ่ม

แก้