กึ่งแกนเอก
กึ่งแกนเอก (semi-major axis) เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย
วงรี
แก้สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี
ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก คือ กึ่งแกนโท , ความเยื้องศูนย์กลาง และ กึ่งเลตัสเรกตัม เป็นดังต่อไปนี้
ถ้าให้จุดโฟกัสและ คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้ และ จะเข้าใกล้อนันต์ แต่ จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า
กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า
และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด และค่าสูงสุด จะเป็น
ไฮเพอร์โบลา
แก้ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า
หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม และความเยื้องศูนย์กลาง เป็น
ดาราศาสตร์
แก้ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้
ในที่นี้
- คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
- เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล
จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร
ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์
โดยที่ คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง
ในที่นี้
- คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
- คือมวลของดาวปฐมภูมิ
- คือมวลของดาวทุติยภูมิ
เนื่องจากโดยปกติแล้ว จะมีค่ามากกว่า มาก ผลกระทบจากค่า จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์
การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง
แก้ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า
ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า
โดยที่
ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร
ในที่นี้
- เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
- เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
- เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
- เป็นมวลของดาวหลัก
ตัวอย่าง
แก้สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.