การบวกเมทริกซ์ ในทางคณิตศาสตร์ เป็นการดำเนินการการบวกบนสองเมทริกซ์ โดยบวกสมาชิกที่สอดคล้องกันเข้าด้วยกันเป็นเมทริกซ์ใหม่
ผลบวกแยกสมาชิก
แก้
การบวกเมทริกซ์โดยทั่วไปจะนิยามให้เมทริกซ์สองเมทริกซ์มีมิติเท่ากัน ผลบวกของเมทริกซ์ A และ B ที่มีมิติ m ×n เขียนแทนด้วย A + B และได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเมทริกซ์ขนาด m ×n ที่มีสมาชิกเป็นผลบวกบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
]
=
[
1
3
8
5
3
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
เรายังสามารถดำเนินการการลบ บนเมทริกซ์สองเมทริกซ์ได้ ตราบใดที่ยังมีมิติเท่ากัน การลบเมทริกซ์เขียนแทนด้วย A − B จะได้เมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นผลลบบนตำแหน่งที่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น
[
1
3
1
0
1
2
]
−
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
]
=
[
1
3
−
6
−
5
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
เอกลักษณ์การบวก ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ศูนย์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
[
0
0
0
0
0
0
]
+
[
1
3
1
0
1
2
]
=
[
1
3
1
0
1
2
]
=
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}
ผลบวกโดยตรง
แก้
การดำเนินการการบวกอีกอย่างหนึ่งซึ่งมีที่ใช้น้อยกว่า คือการบวกโดยตรง เราสามารถบวกเมทริกซ์ A มิติ m ×n กับเมทริกซ์ B มิติ p ×q ได้โดยไม่จำเป็นต้องมีมิติเท่ากัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ (m + p ) × (n + q ) ตามที่นิยามไว้ดังนี้
A
⊕
B
=
[
A
0
0
B
]
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋮
⋮
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
{\displaystyle A\oplus B={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
การบวกแบบนี้ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ ลองพิจารณาตัวอย่างนี้เทียบกับข้างบน
[
1
6
0
1
]
⊕
[
1
3
2
2
3
1
]
=
[
1
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
3
2
0
0
2
3
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&6&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&3&2\\0&0&2&3&1\end{bmatrix}}}
คุณสมบัติ
แก้
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle A+B=B+A}
A
+
(
B
+
C
)
=
(
A
+
B
)
+
C
{\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
(
r
+
s
)
A
=
r
A
+
s
A
{\displaystyle (r+s)A=rA+sA}
r
(
A
+
B
)
=
r
A
+
r
B
{\displaystyle r(A+B)=rA+rB}
แหล่งข้อมูลอื่น
แก้
