ลำดับโคชี

ในคณิตศาสตร์ ลำดับโคชี (อังกฤษ: Cauchy sequence) เป็นลำดับที่สมาชิกเข้าใกล้กันมากขึ้นเมื่อลำดับนั้นล่วงไป หรือเมื่อพิจารณาพจน์ที่ตำแหน่งสูงขึ้นเรื่อย ๆ หากกล่าวให้รัดกุมยิ่งขึ้นคือ เมื่อกำหนดระยะห่างค่าบวกเป็นค่าน้อยเท่าไหร่ก็ตาม เกือบทุกสมาชิกของลำดับยกเว้นแต่สมาชิกจำนวนจำกัดตัว จะอยู่ห่างกันน้อยกว่าระยะห่างที่กำหนด

(a) กราฟที่ได้จากการพล็อตลำดับโคชี $(x_{n})$ (สีน้ำเงิน) บนระบบพิกัดฉาก เทียบกับค่า $n$ ถ้าปริภูมิของลำดับนี้เป็นปริภูมิบริบูรณ์ แล้วลำดับโคชีจะมีลิมิตเสมอ

(b) ตัวอย่างลำดับที่ไม่เป็นลำดับโคชี สมาชิกของลำดับไม่ได้เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อพจน์ของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

ลำดับนี้ตั้งชื่อตามโอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี

เงื่อนไขที่ว่าทุกพจน์ติดกันของลำดับจะอยู่ใกล้กันเท่าไรก็ได้ (arbitrarily close) นั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลำดับของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ $a_{n}={\sqrt {n}}$ พจน์ที่อยู่ติดกันจะอยู่ใกล้กันเท่าไหร่ก็ได้ เนื่องจาก

$a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}$

แต่ลำดับดังกล่าวไม่เป็นลำดับลู่เข้า ทั้งนี้เพราะว่าพจน์ $a_{n}$ มีค่ามากได้ไม่จำกัด และทุกจำนวนเต็มบวก $n$ และระยะทางค่าบวก $d$ ใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก $m$ ที่ทำให้ $x_{m}-x_{n}>d$ ลำดับดังกล่าวจึงไม่เป็นลำดับโคชี

ในระบบจำนวนจริง

ลำดับ $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ ของจำนวนจริงจะเรียกว่าเป็นลำดับโคชี ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $\varepsilon$ จะมีจำนวนเต็มบวก $N$ ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนนับ $m,n>N$ จะได้ว่า $|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon$

สำหรับจำนวนจริง $r$ ใด ๆ ลำดับที่เกิดจากการกระจายทศนิยมแล้วตัดทอนทศนิยมตำแหน่งต่าง ๆ ของ $r$ จะเป็นลำดับโคชี ตัวอย่างเช่น เมื่อ $r=\pi$ จะสร้างลำดับโคชีได้เป็น (3, 3.1, 3.14, 3.141, . . . ) เทอมที่ $m$ และ $n$ ของลำดับจะต่างกันได้มากสุด $10^{1-m}$ เมื่อ $m<n$ จึงส่งผลให้เมื่อ $m$ มีค่าโตขึ้น ผลต่างของเทอมที่ $m$ และ $n$ จะน้อยกว่าจำนวนบวก $\varepsilon$ ใดที่กำหนดได้

ในปริภูมิเมตริก

เนื่องจากนิยามของลำดับโคชีนั้นใช้แนวคิดเกี่ยวกับเมตริกเท่านั้น จึงสามารถขยายนัยทั่วไปยังปริภูมิเมตริก $(X,d)$ ใด ๆ ได้ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ของ $\left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert$ เป็นฟังก์ชันเมตริก $d(x_{m},x_{n})$ ของปริภูมิเมตริกนั้น

ความบริบูรณ์

ปริภูมิเมตริก $(X,d)$ ที่ทุกลำดับโคชีลู่เข้าใน $X$ เรียกว่าปริภูมิสมบูรณ์

ตัวอย่าง

ระบบจำนวนจริงเป็นปริภูมิสมบูรณ์ภายใต้เมตริกค่าสัมบูรณ์ปกติ และวิธีการสร้างจำนวนจริงที่รู้จักกันทั่วไปนั้นใช้ลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ ในการสร้างจำนวนจริงข้างต้น ทุกชั้นสมมูลของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่มีพฤติกรรมอย่างเดียวกัน จะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริง