แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway)ได้

เพนดูลัมผกผัน (อังกฤษ: Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม [1]

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน[2][3]แก้ไข

ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน   ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ   คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว   ให้แรงจากภายนอกเป็น   กระทำในทิศ   ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน   และกำหนดให้   เป็นระยะของรถในแกน   ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้[4]   โดย   คือพลังงานจลน์ของระบบ และ   คือพลังงานศักย์ของระบบ

 
รูปภาพแสดงรูปแบบของเพนดุลัมผกผันและตัวแปรที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

 
โดย   เป็นความเร็วของของตัวรถ   เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล   ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.
ทั้งนี้   และ   สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ   และ   ดังต่อไปนี้

 
 

ทำการลดรูป   ได้ผลเป็น

 

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

 

และสมการการเคลื่อนที่:

 
 

แทนที่   ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้

 
 

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็กๆซึ่งประมาณเป็น   ได้ (   ) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

ดูเพิ่มแก้ไข

อ้างอิงแก้ไข

  1. เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
  2. M.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989
  3. Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition 5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
  4. [1] Simple Inverted Pendulum Cart Dynamics Lagrangian Development by Jaspen Patenaude

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข